Ти дізнаєшся, чому через вираз 8 : 2(2 + 2) у соцмережах сперечалися тисячі людей. Ти побачиш, яку відповідь дають шкільні правила, і навчишся записувати такі вирази так, щоб усі отримали однакове значення.
Уже розв’язав вправи з виразами, а відповідь вийшла не така? Одразу переходь до розділу «Де найчастіше помиляються».
Суперечка з інтернету
Улітку 2019 року в соцмережах поширилося завдання «8 : 2(2 + 2) = ?». Тисячі людей писали свої відповіді, і найчастіше виходило 16 або 1. Про цю суперечку писали навіть великі газети.
Обидві групи спершу обчислили дужки, 2 + 2 = 4. Далі вони пішли різними шляхами, і таблиця показує обидва способи.
| Спосіб | Дії | Відповідь |
|---|---|---|
| Перший | 2 + 2 = 4; 8 : 2 = 4; 4 · 4 = 16 | 16 |
| Другий | 2 + 2 = 4; 2 · 4 = 8; 8 : 8 = 1 | 1 |
У першому способі після дужок спершу поділили 8 на 2, а в другому спершу помножили 2 на 4. Отже, відповіді розійшлися через те, яку дію виконали раніше, ділення чи множення.
Де у виразі сховався знак множення
У § 6 підручника сказано, що перед дужками знак множення можна не писати. Тому запис 2(2 + 2) означає те саме, що 2 · (2 + 2).
| 8 : 2(2 + 2) = 8 : 2 · (2 + 2) |
Коли знак «·» дописано, видно звичайний числовий вираз із трьома діями. Це додавання в дужках, ділення і множення, тож вираз можна обчислити за правилами порядку дій.
Як обчислити вираз за шкільними правилами
Порядок дій
- Якщо у виразі є дужки, спершу обчислюють значення виразу в дужках.
- Потім підносять до степеня, якщо у виразі є степінь.
- Далі виконують множення і ділення по порядку зліва направо. Ту з цих дій, що стоїть лівіше, виконують раніше, навіть якщо це ділення.
- Наприкінці виконують додавання і віднімання, теж зліва направо.
Множення і ділення в цьому правилі рівноправні, і жодна з цих дій не головніша за іншу. Щоб у всіх виходила одна відповідь, домовилися виконувати їх у тому порядку, у якому ми читаємо, тобто зліва направо.
Приклад 1. Знайди значення виразу 8 : 2(2 + 2) за шкільними правилами
Спершу допишемо схований знак «·» перед дужками. Над знаками дій надпишемо номери в тому порядку, у якому виконуватимемо дії.
| 2 | 3 | 1 | ||||
| 8 | : | 2 | · | (2 | + | 2) |
Розв'язання.
- 1)2 + 2 = 4;
- 2)8 : 2 = 4;
- 3)4 · 4 = 16.
Відповідь: 16.
Після дужок у виразі лишилися ділення і множення. Ділення стоїть лівіше, тому його виконали раніше за множення.
Звідки береться відповідь 1
Дехто сприймає 2(2 + 2) як одне ціле, бо між числом 2 і дужками немає знака. Тоді спершу множать 2 на 4, а вже потім ділять 8 на отриманий добуток. Автор завдання цілком міг мати на увазі саме такий порядок.
Калькулятори теж не домовилися між собою. Якщо набрати цей запис, одні калькулятори покажуть 16, а інші покажуть 1.
Чесний висновок
За правилами підручника значення виразу 8 : 2(2 + 2) дорівнює 16. Але сам запис невдалий, бо його можна прочитати двома способами. Ті, хто отримав 1, могли правильно виконати дії, але інакше зрозуміти задум автора.
Щоб вираз усі прочитали однаково, у ньому не пропускають знак «·» і обводять дужками ту частину, яку треба обчислити раніше. Дужки навколо дії, яку й так виконують першою, значення не змінять. Зате без потрібних дужок легко отримати іншу відповідь.
Приклад 2. Запиши вираз 8 : 2(2 + 2) для кожного з двох задумів так, щоб його не можна було прочитати інакше
Для кожного задуму допишемо знак «·». Потім обведемо дужками те, що треба обчислити раніше.
Розв'язання.
1) Задум: спершу поділити 8 на 2, а потім помножити на суму 2 + 2.
| (8 : 2) · (2 + 2) = 4 · 4 = 16 |
Дужки навколо 8 : 2 правилам не потрібні, бо ділення й так виконали б першим. Але ці дужки одразу показують задум, і сперечатися вже немає про що.
2) Задум: поділити 8 на добуток числа 2 і суми 2 + 2.
| 8 : (2 · (2 + 2)) = 8 : (2 · 4) |
| = 8 : 8 = 1 |
Тут одні дужки стоять усередині інших. Спершу обчислюють внутрішні дужки, 2 + 2 = 4, а потім зовнішні, 2 · 4 = 8. Після цього лишається одна дія, 8 : 8 = 1.
Відповідь: (8 : 2) · (2 + 2) = 16; 8 : (2 · (2 + 2)) = 1.
Як перевірити себе
- Якщо перед дужками немає знака дії, допиши знак «·». Тоді ти побачиш усі дії виразу, і жодна з них не загубиться.
- Перш ніж рахувати, надпиши над знаками номери дій. Так легше помітити, яка з двох дій, множення чи ділення, стоїть лівіше, адже саме її виконують першою.
- Коли сам записуєш вираз, перечитай його так, ніби бачиш уперше. Якщо його можна порахувати двома способами, обведи дужками те, що треба обчислити раніше.
Де найчастіше помиляються
Помилка 1. Множення виконали раніше за ділення, яке стоїть лівіше
Завдання: знайди значення виразу 24 : 4 · 2.
Неправильно
| 24 : 4 · 2 = 24 : 8 = 3 |
Правильно
| 24 : 4 · 2 = 6 · 2 = 12 |
Множення і ділення виконують зліва направо, а тут першим стоїть ділення. Тому спершу 24 : 4 = 6, а потім 6 · 2 = 12.
Помилка 2. Додавання виконали раніше за множення, сховане перед дужками
Завдання: знайди значення виразу 5 + 2(3 + 1).
Неправильно
| 5 + 2(3 + 1) = 7 · 4 = 28 |
Правильно
| 5 + 2(3 + 1) = 5 + 2 · 4 |
| = 5 + 8 = 13 |
Між числом 2 і дужками стоїть схований знак множення, а множення виконують раніше за додавання. Якщо дописати знак «·», вийде 5 + 2 · 4, і такої помилки вже не буде.
Помилка 3. Дужками обвели не ту частину, яку треба обчислити раніше
Завдання: запиши вираз 24 : 2(1 + 3) зі знаком «·» і дужками так, щоб його значення дорівнювало 3.
Неправильно
| 24 : 2 · (1 + 3) = 12 · 4 = 48 |
Правильно
| 24 : (2 · (1 + 3)) = 24 : 8 = 3 |
У неправильному записі дужки обводять лише суму 1 + 3, тому ділення все одно виконують першим і виходить 48. Щоб поділити 24 на весь добуток, дужками обводять увесь добуток 2 · (1 + 3).
Спробуй сам
У завданнях 1–4 знайди значення виразів за шкільними правилами.
- 12 : 3(1 + 1)
- 30 : 5(4 − 1)
- 6 + 2(5 − 1)
- 20 : 2 · 5
- Запиши вираз 12 : 3(1 + 1) зі знаком «·» і дужками так, щоб його значення дорівнювало 2.
- Марійка обчислила вираз 18 : 3(2 + 1) і отримала 2. Як вона рахувала і яке значення виходить за шкільними правилами?
Перевірити відповіді
- 8.
- 18.
- 14.
- 50.
- 12 : (3 · (1 + 1)) = 2.
- За правилами — 18.
Повне розв’язання завдання 5
| 12 : (3 · (1 + 1)) = 12 : (3 · 2) |
| = 12 : 6 = 2 |
Щоб поділити 12 на весь добуток 3 · (1 + 1), цей добуток обводять дужками. Спершу обчислюють внутрішні дужки, 1 + 1 = 2, потім зовнішні, 3 · 2 = 6. Лише після цього ділять, 12 : 6 = 2.
Повне розв’язання завдання 6
Марійка спершу помножила 3 на суму в дужках, 3 · 3 = 9, а потім поділила 18 на 9 і отримала 2. Вона прочитала 3(2 + 1) як одне ціле.
- 1)2 + 1 = 3;
- 2)18 : 3 = 6;
- 3)6 · 3 = 18.
Після дужок лишилися ділення і множення, і ділення стоїть лівіше, тому його виконують першим. За шкільними правилами значення виразу дорівнює 18.
Якщо твоя відповідь не збіглася з відповіддю в розділі «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Якщо дитина принесла з інтернету суперечку «16 чи 1», попросіть її дописати схований знак «·» і надписати номери дій. Так дитина сама побачить, що ділення стоїть лівіше за множення. Тому за шкільними правилами його виконують першим, і виходить 16.
Запитайте дитину, як записати цей вираз, щоб вийшло 1. Правильна відповідь така: треба обвести дужками весь добуток 2 · (2 + 2). Так дитина вчиться не лише рахувати, а й записувати вирази, які всі прочитають однаково.