Чому на нуль ділити не можна і що покаже калькулятор

Перевір на калькуляторі, що він покаже під час ділення на нуль. Ти також дізнаєшся, чому 0 : 0 не має однієї відповіді.

Вагаєшся, у яких завданнях № 390 відповідь дорівнює 0, а в яких ділити не можна? Одразу переходь до розділу «Де найчастіше помиляються».

Дослід із калькулятором

Відкрий калькулятор у телефоні й набери чотири дії з таблиці. Після кожної дії натисни «=» і запиши, що з’явилося на екрані.

Набери	Що з’явиться на екрані
12 : 3 =	4
0 : 12 =	0
12 : 0 =	повідомлення про помилку
0 : 0 =	повідомлення про помилку

У двох останніх рядках калькулятор показав замість числа повідомлення про помилку. Напис може бути різним, але числа немає.

Калькулятор не зламався: він показує, що ділення на нуль не має відповіді.

Ділення перевіряють множенням

Щоб перевірити ділення, помнож частку на дільник: має вийти ділене. Наприклад, 12 : 3 = 4, бо 4 · 3 = 12. У записі 12 : 3 = 4 число 12 — ділене, 3 — дільник, а 4 — частка.

Знайти 12 : 3 означає знайти число, яке після множення на 3 дає 12. Щоб знайти 12 : 0, треба знайти число, яке після множення на 0 дає 12; позначимо його знаком «?».

Чому 12 : 0 не має відповіді

Шукаємо число «?», для якого ? · 0 = 12. Перевіримо кілька чисел: від малого до дуже великого.

1 · 0 = 0

4 · 0 = 0

12 · 0 = 0

1000 · 0 = 0

Будь-яке число, помножене на 0, дає 0, тому 12 не вийде. Отже, числа, яке було б часткою 12 : 0, не існує.

Ще один спосіб: віднімати по 3 і по 0

Дія 12 : 3 показує, скільки разів можна відняти 3 від 12, щоб отримати 0.

1. 1)12 − 3 = 9;
2. 2)9 − 3 = 6;
3. 3)6 − 3 = 3;
4. 4)3 − 3 = 0.

Ми відняли 3 чотири рази й отримали 0, тому 12 : 3 = 4.

12 − 0 = 12

12 − 0 = 12

12 − 0 = 12

…

Якщо віднімати від 12 по 0, число залишатиметься 12. Скільки б разів ми так не робили, до нуля не дійдемо, тож числа, яке показало б кількість віднімань, немає. Калькулятор теж не знаходить частки й показує помилку.

Чому 0 : 0 теж не можна

Шукаємо число «?», для якого ? · 0 = 0. Перевіримо кілька чисел: від нуля до дуже великого числа.

0 · 0 = 0

1 · 0 = 0

7 · 0 = 0

1000 · 0 = 0

Цього разу перевірку множенням проходить будь-яке число: і 7, і 1000. Частка має бути одним числом, тому сказати, чому дорівнює 0 : 0, неможливо.

У 12 : 0 не підходить жодне число, а в 0 : 0 підходить будь-яке. В обох випадках однієї відповіді немає, тому ділити на нуль не можна.

А ділити нуль на число можна

Для 0 : 12 шукаємо число «?», для якого ? · 12 = 0. Підходить лише 0, бо 0 · 12 = 0. Кожне натуральне число після множення на 12 дає щонайменше 12, бо 1 · 12 = 12. Отже, 0 : 12 = 0.

Дія	Які числа підходять	Відповідь
0 : 12	лише 0	0
12 : 0	жодне	ділити не можна
0 : 0	будь-яке	ділити не можна

Спершу подивись на дільник. Якщо дільник дорівнює нулю, ділити не можна, навіть коли ділене теж 0. Якщо нуль стоїть лише на місці діленого, а дільник — натуральне число, частка дорівнює 0.

Два запитання про ділення на нуль

Чому 12 : 0 не дорівнює 0?

Уяви, що 12 цукерок треба порівну роздати 0 дітям. Дітей немає, тож не можна сказати, скільки цукерок отримає кожен, і відповідь 0 тут нічого не означає. Перевірка множенням це підтверджує, бо 0 · 0 = 0, а має вийти 12.

Чому 0 : 0 не дорівнює 1, якщо 12 : 12 = 1?

Правило «число, поділене на себе, дорівнює 1» стосується натуральних чисел, наприклад 12 : 12 = 1. Нуль не є натуральним числом, тому це правило не пояснює 0 : 0. Для 0 : 0 підходять і 1, і 7, бо 1 · 0 = 0 і 7 · 0 = 0. Отже, однієї частки немає.

Нуль, якого не видно

Іноді дільник дорівнює нулю, але нуль захований у дужках. Тому у виразі з діленням спершу обчисли дільник.

Завдання: знайди значення виразу 30 : (6 · 2 − 12) або поясни, чому його немає.

1. 1)6 · 2 = 12;
2. 2)12 − 12 = 0;
3. 3)30 : 0 — ділити не можна.

У дужках вийшов 0, тобто дільник дорівнює нулю, тому вираз не має значення. Калькулятор теж покаже повідомлення про помилку.

Як перевірити себе

• Перш ніж ділити, подивись на дільник. Якщо він дорівнює 0, ділити не можна: жодне число, помножене на 0, не дасть ділене, яке не дорівнює 0. Якщо й ділене дорівнює 0, підходить будь-яке число, тому однієї відповіді немає.
• Якщо отримав відповідь, перевір її множенням: частка, помножена на дільник, має дати ділене. Наприклад, 0 : 12 = 0, бо 0 · 12 = 0.
• У виразі з дужками спершу обчисли дужки в дільнику. Нуль може бути захований там, доки ти не виконаєш обчислення.

Де найчастіше помиляються

Помилка 1. Число поділили на нуль і отримали нуль

Завдання: обчисли 12 : 0 або поясни, чому ділення неможливе.

Перевір множенням, і побачиш, що 0 · 0 = 0, а має вийти 12. Відповідь 12 теж не підходить, бо 12 · 0 = 0.

Помилка 2. Нуль поділили на число й вирішили, що ділити не можна

Завдання: обчисли 0 : 7 або поясни, чому ділення неможливе.

Тут нуль стоїть на місці діленого, а дільник дорівнює 7, тому ділити можна. Перевірка 0 · 7 = 0 правильна, отже, 0 : 7 = 0.

Помилка 3. Нуль поділили на нуль і отримали одиницю

Завдання: обчисли 0 : 0 або поясни, чому ділення неможливе.

Перевірка 1 · 0 = 0 підходить, але 5 · 0 = 0 теж. Якщо підходить кілька різних відповідей, однієї правильної немає, тому ділити не можна.

Спробуй сам

Обчисли вирази або поясни, чому ділити не можна.

1. 0 : 45
2. 45 : 0
3. 0 : 0
4. 45 : 45
5. (27 − 27) : 9
6. 9 : (27 − 27)
7. 48 : (4 · 3 − 12)
8. Марко каже, що 0 : 0 = 0, бо нуль, поділений на будь-яке число, дорівнює нулю. Чи має рацію Марко? Поясни відповідь перевіркою множенням.

Перевірити відповіді

1. 0.
2. Ділити не можна.
3. Ділити не можна.
4. 1.
5. 0.
6. Ділити не можна.
7. Ділити не можна.
8. Ні, Марко не має рації.

Повне розв’язання завдання 7

1. 1)4 · 3 = 12;
2. 2)12 − 12 = 0;
3. 3)48 : 0 — ділити не можна.

У дужках вийшов нуль, отже, дільник дорівнює нулю. Тому вираз 48 : (4 · 3 − 12) значення не має.

Повне розв’язання завдання 8

Правило «нуль, поділений на число, дорівнює нулю» стосується натурального дільника, наприклад 0 : 45 = 0. Для 0 : 0 перевірку проходять і 0 · 0 = 0, і 3 · 0 = 0. Отже, підходить будь-яке число, тому 0 : 0 ділити не можна.

Якщо твоя відповідь не збіглася з відповіддю в розділі «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».

Для батьків