Повідомити про помилку
* - Обов'язкові поля
Відправити

Ділення натуральних чисел: ділення куточком і перевірка множенням

Ти навчишся ділити куточком на одно-, дво- і трицифрове число і не губити нуль у частці. А ще — перевіряти ділення множенням і ділити на 10, 100, 1000.

Поділив, а перевірка множенням дала інше число? Найімовірніше, у частці загубився нуль. Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Коротко про ділення

48 цукерок розклали порівну в 6 коробок. У кожній коробці 8 цукерок, бо 6 · 8 = 48. Записуємо це діленням: 48 : 6 = 8.

Ми знали добуток (48) і один множник (6), а знайшли інший множник (8). Така дія і називається діленням.

У записі 48 : 6 = 8 число 48 — ділене, 6 — дільник, 8 — частка. Запис 48 : 6 теж називають часткою.

  • 48 : 6 означає, що 48 зменшили в 6 разів. Так кажемо, коли дільник більший за 1.
  • Частка 8 показує, у скільки разів ділене більше за дільник: 48 у 8 разів більше за 6.
  • Ділення можна перевірити множенням: 8 · 6 = 48. З тієї ж рівності видно, що 48 : 8 = 6. Тому ділення — дія, обернена до множення.

Окремі випадки (тут $a$ — натуральне число):

$a:a=1$

$a:1=a$

$0:a=0$

Чому на нуль ділити не можна

Припустимо, що 7 : 0 дорівнює якомусь числу. Тоді це число, помножене на 0, дає 7.

Але будь-яке число, помножене на 0, дає 0. Такого числа немає.

А 0 : 0? Тут підходить будь-яке число: 5 · 0 = 0, 12 · 0 = 0. Однієї відповіді немає.

Тому на нуль ділити не можна.

Розв’язані приклади: усно

Приклад 1. Обчисли або поясни, чому ділення неможливе

1)37 : 37 = 1, бо 1 · 37 = 37
2)254 : 1 = 254, бо 254 · 1 = 254
3)0 : 15 = 0, бо 0 · 15 = 0
4)15 : 0 — не можна: на нуль не ділять

Приклад 2. Частки з готової рівності

Відомо, що 125 · 36 = 4500. Знайди 4500 : 125 і 4500 : 36, не виконуючи ділення.

1)4500 — добуток, 125 — один множник. Ділимо на нього й отримуємо інший: 4500 : 125 = 36
2)Так само 4500 : 36 = 125

Приклад 3. Ділення на 10, 100, 1000

Щоб поділити число, яке закінчується нулями, на 10, 100 або 1000, відкидаємо праворуч стільки нулів, скільки їх у дільнику.

1)5600 : 100 = 56 — у 100 два нулі, відкидаємо два
2)43 000 : 10 = 4300 — відкидаємо один нуль
3)7 200 000 : 1000 = 7200 — відкидаємо три нулі

Перевірка: 56 · 100 = 5600. Множення на 100 дописує два нулі, а ділення на 100 їх забирає.

Як записати ділення куточком

Великі числа ділять письмово, куточком. Ділене пишемо ліворуч, дільник — праворуч.

Між ними — «куточок»: вертикальна риска і горизонтальна риска під дільником. Частку пишемо під цією рискою.

29166

Одна цифра — одна клітинка. Під рискою праворуч з’явиться частка.

Розв’язані приклади: ділення куточком

Приклад 4. 2916 : 6 — покроково

Подивися на три кадри. Кожен крок має свій колір. Число, яке віднімаємо (від’ємник), і цифра частки, за якою його отримали, пофарбовані однаково.

Запис 29 : 6 → 4 під кадром означає: 6 уміщується в 29 чотири рази. Зносимо — переписуємо наступну цифру діленого вниз, праворуч від остачі.

−29166
244
51

Кадр 1. 29 : 6 → 4; 6 · 4 = 24; 29 − 24 = 5. Зносимо 1: маємо 51.

−29166
2448
−51
48
36

Кадр 2. 51 : 6 → 8; 6 · 8 = 48; 51 − 48 = 3. Зносимо 6: маємо 36.

−29166
24486
−51
48
−36
36
0

Кадр 3. 36 : 6 = 6; 6 · 6 = 36; остача 0.

  1. 1)Беремо першу цифру діленого: 2 менше за 6, тому беремо дві цифри — 29. Це перше неповне ділене: найменше число з перших цифр діленого (2916), яке не менше за дільник (6).
  2. 2)Після 29 у діленому ще дві цифри (1 і 6). Отже, у частці буде три цифри: одна для 29 і по одній для кожної наступної цифри.
  3. 3)Шукаємо, скільки разів 6 уміщується в 29: 6 · 4 = 24, а 6 · 5 = 30 — забагато. Пишемо в частку 4, під 29 пишемо 24 і віднімаємо: 5.
  4. 4)Остача 5 менша за 6 — цифру вибрано правильно. Зносимо наступну цифру 1 праворуч від остачі 5. Маємо 51. Так само ділимо 51, потім 36, як на кадрах.

Відповідь: 2916 : 6 = 486.

Порядок дій

  1. Знайди перше неповне ділене.
  2. Порахуй, скільки цифр буде в частці: одна для першого неповного діленого і по одній для кожної наступної цифри діленого.
  3. Добери цифру частки, помнож її на дільник і відніми. Остача має бути меншою за дільник.
  4. Знеси наступну цифру. Якщо число менше за дільник, пиши в частку 0 і знось ще одну цифру. Повторюй це, поки число менше за дільник. Коли воно стане не меншим, повертайся до кроку 3. Якщо нуль вийшов на останній цифрі, він стоїть у кінці частки: 3150 : 7 = 450.
  5. Перевір: частка · дільник = ділене.

Приклад 5. 3248 : 8 — нуль у частці

−32488
32406
−48
48
0
  1. 1)3 менше за 8, тому перше неповне ділене — 32. Після нього ще дві цифри, отже, у частці три цифри.
  2. 2)32 : 8 = 4. Пишемо в частку 4. 8 · 4 = 32, остача 0.
  3. 3)Зносимо 4. Число 4 менше за 8: вісімка в ньому не вміщується жодного разу. Пишемо в частку 0.
  4. 4)Зносимо ще цифру 8. Маємо 48. 48 : 8 = 6, остача 0.

У записі одразу пишемо 48, як у підручнику: остачу 0 і окрему четвірку не записують. Жовта клітинка нагадує, що нуль у частці пишемо обов’язково.

Відповідь: 3248 : 8 = 406.

Приклад 6. 7704 : 36 — двоцифровий дільник

−770436
72214
−50
36
−144
144
0
  1. 1)7 менше за 36, тому перше неповне ділене — 77. Після нього дві цифри, отже, у частці три цифри.
  2. 2)Скільки разів 36 уміщується в 77? Прикинь: відкинь в обох числах останні цифри так, щоб від дільника лишилася одна цифра. З 77 і 36 лишаються 7 і 3: 7 : 3 → 2. Перевіряємо: 36 · 2 = 72, 77 − 72 = 5. Остача 5 менша за 36.
  3. 3)Зносимо 0: маємо 50. 36 · 1 = 36, 50 − 36 = 14.
  4. 4)Зносимо 4: маємо 144. Прикидка: з 144 і 36 лишаються 14 і 3, 14 : 3 → 4. 36 · 4 = 144, остача 0.

Якщо цифра не підійшла. Добуток більший за число, від якого віднімаєш, — зменш цифру на 1. Остача не менша за дільник — збільш цифру на 1.

Наприклад, для 144 цифра 3 дає 36 · 3 = 108 і остачу 36 — отже, треба 4.

Прикидка лише підказує, з якої цифри почати. Якщо вийшло більше за 9, починай з 9.

Коли дільник починається з 1, прикидка часто завелика. Для 53 : 18 вийде 5 : 1 → 5, але 18 · 5 = 90 більше за 53. Зменшуємо по одному: 18 · 4 = 72, 18 · 3 = 54 — теж більше, 18 · 2 = 36 — підходить.

Відповідь: 7704 : 36 = 214.

Приклад 7. 44 505 : 215 — трицифровий дільник

−44505215
430207
−1505
1505
0
  1. 1)4 і 44 менші за 215, тому перше неповне ділене — 445. Після нього дві цифри, отже, у частці три цифри.
  2. 2)Прикидка: з 445 і 215 лишаються 4 і 2, 4 : 2 → 2. 215 · 2 = 430, 445 − 430 = 15.
  3. 3)Зносимо 0: маємо 150. Це менше за 215, тому пишемо в частку 0.
  4. 4)Зносимо 5: маємо 1505. Прикидка: з 1505 і 215 лишаються 15 і 2, 15 : 2 → 7. 215 · 7 = 1505, остача 0.

Відповідь: 44 505 : 215 = 207.

Приклад 8. 24 168 : 24 — два нулі поспіль

−2416824
241007
−168
168
0
  1. 1)Перше неповне ділене — 24. Після нього три цифри, отже, у частці чотири цифри.
  2. 2)24 : 24 = 1. 24 · 1 = 24, остача 0.
  3. 3)Зносимо 1. 1 менше за 24 — пишемо в частку 0.
  4. 4)Зносимо 6. Маємо 16, і це теж менше за 24 — пишемо в частку ще один 0.
  5. 5)Зносимо 8. Маємо 168. Прикидка: з 168 і 24 лишаються 16 і 2, 16 : 2 → 8, але 24 · 8 = 192 — забагато. 24 · 7 = 168, остача 0.

Відповідь: 24 168 : 24 = 1007.

Приклад 9. Перевір множенням, чи правильно поділено

1) 8424 : 26 = 324. Множимо частку на дільник:

×324
26
+1944
648
8424

Вийшло ділене 8424. Ділення правильне.

2) 6318 : 27 = 243. Множимо:

×243
27
+1701
486
6561

Вийшло 6561. Це не ділене 6318, тому ділення неправильне. Поділимо куточком ще раз:

−631827
54234
−91
81
−108
108
0

Правильна частка — 234. Перевірка: 234 · 27 = 6318. Помилка була в тому, що переставили цифри 3 і 4.

Відповідь: 1) правильно; 2) неправильно.

Розв’язані приклади: вирази і зручні способи

Приклад 10. Знайди значення виразу 5346 : 18 + 6435 : 45

1)5346 : 18 = 297
2)6435 : 45 = 143
3)297 + 143 = 440

Ділення виконуємо раніше за додавання. Кожне ділення роби куточком, як у прикладі 6, і перевір множенням: 297 · 18 = 5346, 143 · 45 = 6435.

Відповідь: 440.

Приклад 11. Як зміниться частка

Візьмемо 24 : 4 = 6 і змінюватимемо ділене чи дільник.

1)Ділене збільшили в 3 рази: 72 : 4 = 18. Частка збільшилася в 3 рази
2)Дільник збільшили в 2 рази: 24 : 8 = 3. Частка зменшилася в 2 рази
3)І ділене, і дільник збільшили в 3 рази: 72 : 12 = 6. Частка не змінилася
4)Дільник зменшили в 2 рази: 24 : 2 = 12. Частка збільшилася в 2 рази
5)Ділене збільшили в 4 рази, а дільник — у 2 рази: 96 : 8 = 12. Частка збільшилася в 2 рази

Порівнюй нову частку зі старою (6): 18 : 6 = 3, тобто в 3 рази більше. Менший дільник дає більшу частку: ділимо на менше число частин.

Приклад 12. Обчисли зручним способом

1)(48 · 35) : 16 = (48 : 16) · 35
= 3 · 35 = 105
2)(72 · 45) : 9 : 5
= (72 : 9) · (45 : 5) = 8 · 9 = 72
3)(14 · 45) : 35 = (14 · 45) : 7 : 5
= (14 : 7) · (45 : 5) = 2 · 9 = 18

Щоб поділити добуток на число, досить поділити на нього один множник. Вибирай той, який ділиться націло: 48 = 16 · 3, тому 48 : 16 = 3.

У другому рядку ділимо двічі: 72 ділиться на 9, а 45 — на 5.

У третьому ні 14, ні 45 на 35 не діляться. Тоді розкладаємо 35 = 7 · 5: поділити на 35 — те саме, що поділити спершу на 7, а потім на 5. Множники 7 і 5 добираємо так, щоб 14 ділилося на 7, а 45 — на 5.

Як перевірити себе

  1. Помнож частку на дільник. Має вийти ділене: 214 · 36 = 7704.
  2. Порахуй цифри частки заздалегідь. У 3248 : 8 перше неповне ділене 32, після нього дві цифри. Отже, частка трицифрова: 406.
  3. Прикинь межі. 36 · 200 = 7200, а 36 · 300 = 10 800. Ділене 7704 між ними, тож частка 7704 : 36 між 200 і 300.
  4. Стеж за остачею на кожному кроці. Вона завжди менша за дільник.

Де найчастіше помиляються

1. Загубили нуль у частці

Неправильно

−32488
3246
−48
48
0

Правильно

−32488
32406
−48
48
0

Що сталося: після 32 знесли 4. Четвірка менша за 8, а нуль у частку не записали.

Як помітити: перше неповне ділене 32, після нього дві цифри — у частці має бути три цифри. Перевірка теж підкаже: 46 · 8 = 368, це набагато менше за 3248.

2. Остача не менша за дільник

Неправильно

−770436
72213
−50
36
−144
108
36

Правильно

−770436
72214
−50
36
−144
144
0

Що сталося: для 144 взяли цифру 3. Але 144 − 108 = 36, а 36 ще раз уміщується в 36.

Як помітити: остача 36 дорівнює дільнику 36. Остача завжди менша за дільник, тому цифру частки треба збільшити.

3. Переплутали 0 : 7 і 7 : 0

Неправильно

0 : 7 = 7
7 : 0 = 0

Правильно

0 : 7 = 0
7 : 0 — не можна

Як помітити: перевір множенням. Для 0 : 7 = 7 виходить 7 · 7 = 49, хоча ділене — 0. А для 7 : 0 жодне число, помножене на 0, не дає 7.

4. Відкинули не стільки нулів

Неправильно

64 000 : 100 = 64

Правильно

64 000 : 100 = 640

Що сталося: відкинули всі три нулі діленого. А в дільнику 100 лише два нулі.

Як помітити: перевір множенням. 64 · 100 = 6400, це менше за ділене 64 000.

Ділення в задачах

Ділимо, коли треба розкласти порівну, знайти, скільки припадає на одного, або дізнатися, у скільки разів одне число більше за інше.

Урожайність

З поля площею 35 га зібрали 175 т пшениці. Яка врожайність у т/га і в ц/⁠га?

  1. 1)Урожайність — скільки зібрали з одного гектара: 175 : 35 = 5 т/га.
  2. 2)1 т = 10 ц, тому 5 т = 50 ц. Урожайність 50 ц/⁠га.

Відповідь: 5 т/га, або 50 ц/⁠га.

Частина числа

У бібліотеці 4368 книжок. Четверту частину становлять казки. Скільки казок?

Четверта частина — це одна з 4 рівних частин: 4368 : 4 = 1092.

Відповідь: 1092 казки.

Спершу — однакові одиниці

Велосипедист проїхав 3 км 600 м за 12 хв. Скільки метрів він проїжджав за хвилину?

  1. 1)Переводимо в метри: 3 км 600 м = 3600 м.
  2. 2)За одну хвилину: 3600 : 12 = 300 м.

Відповідь: 300 м за хвилину.

Та сама швидкість

Автобус проїхав 360 км за 4 год. Чи встигне він за 5 год проїхати 470 км із тією самою швидкістю?

  1. 1)Швидкість: 360 : 4 = 90 км/год.
  2. 2)За 5 год: 90 · 5 = 450 км.
  3. 3)450 < 470, тому не встигне.

Відповідь: ні.

Та сама відстань

Мотоцикліст долає відстань між містами за 4 год зі швидкістю 90 км/год. Яка швидкість автомобіля, що долає цю відстань за 6 год?

  1. 1)Відстань: 90 · 4 = 360 км.
  2. 2)Швидкість автомобіля: 360 : 6 = 60 км/год.

Відповідь: 60 км/год.

Ціна одного кілограма

Купили 15 кг яблук і 8 кг груш, разом заплатили 1090 грн. Скільки коштує 1 кг яблук, якщо 1 кг груш коштує 65 грн?

  1. 1)Груші: 65 · 8 = 520 грн.
  2. 2)Яблука: 1090 − 520 = 570 грн.
  3. 3)1 кг яблук: 570 : 15 = 38 грн.

Відповідь: 38 грн.

Ящики двох видів

На склад привезли 1480 кг борошна в ящиках по 25 кг і по 40 кг. Ящиків по 25 кг було 24. Скільки було ящиків по 40 кг?

  1. 1)У менших ящиках: 25 · 24 = 600 кг.
  2. 2)У більших ящиках: 1480 − 600 = 880 кг.
  3. 3)Кількість більших ящиків: 880 : 40 = 22.

Відповідь: 22 ящики.

Однакові мішки на двох машинах

Дві машини вивезли 2400 кг рису: перша — 28 мішків, друга — 32. Усі мішки однакові. Скільки кілограмів вивезла кожна машина?

  1. 1)Усього мішків: 28 + 32 = 60.
  2. 2)Маса одного мішка: 2400 : 60 = 40 кг.
  3. 3)Перша машина: 40 · 28 = 1120 кг. Друга: 40 · 32 = 1280 кг.

Відповідь: 1120 кг і 1280 кг.

Різниця в ящиках — різниця в кілограмах

Один садівник зібрав 36 ящиків яблук, другий — 44 таких самих ящики. Другий зібрав на 96 кг більше. Скільки кілограмів зібрав кожен?

  1. 1)Другий зібрав більше на 44 − 36 = 8 ящиків.
  2. 2)Ці 8 ящиків — це 96 кг. В одному ящику: 96 : 8 = 12 кг.
  3. 3)Перший: 12 · 36 = 432 кг. Другий: 12 · 44 = 528 кг.

Відповідь: 432 кг і 528 кг.

Рух назустріч

Між двома містами 1050 км. З цих міст одночасно назустріч один одному виїхали два потяги і зустрілися через 7 год. Швидкість одного потяга — 80 км/год, а якою була швидкість другого?

  1. 1)За годину потяги разом наближаються на 1050 : 7 = 150 км. Це сума їхніх швидкостей.
  2. 2)Швидкість другого: 150 − 80 = 70 км/год.

Відповідь: 70 км/год.

Рух навздогін

Між двома автомобілями 18 км, і вони одночасно рушили в одному напрямку. Автомобіль, що їде позаду, має швидкість 60 км/год і наздогнав другий через 2 год. Яка швидкість автомобіля, що їхав попереду?

  1. 1)За годину відстань між автомобілями зменшується на 18 : 2 = 9 км.
  2. 2)Отже, автомобіль попереду їде на 9 км/год повільніше: 60 − 9 = 51 км/год.

Відповідь: 51 км/год.

За течією і проти течії

Катер пройшов 240 км за течією за 12 год. Швидкість течії — 2 км/год. За скільки годин він пройде цю відстань проти течії?

  1. 1)Швидкість за течією: 240 : 12 = 20 км/год. Течія додає катеру свої 2 км/год.
  2. 2)Власна швидкість катера: 20 − 2 = 18 км/год.
  3. 3)Проти течії течія забирає 2 км/год: 18 − 2 = 16 км/год.
  4. 4)Час: 240 : 16 = 15 год.

Відповідь: 15 год.

Кілька однакових машин

5 однакових принтерів за 4 хв друкують 600 сторінок. Скільки сторінок надрукують 3 такі принтери за 7 хв?

  1. 1)5 принтерів за 1 хв: 600 : 4 = 150 сторінок.
  2. 2)1 принтер за 1 хв: 150 : 5 = 30 сторінок.
  3. 3)3 принтери за 7 хв: 30 · 3 · 7 = 630 сторінок.

Відповідь: 630 сторінок.

Спільна робота

Один насос наповнює 180 л за 6 хв, другий — 200 л за 5 хв. За скільки хвилин вони разом наповнять 490 л?

  1. 1)Перший за хвилину: 180 : 6 = 30 л.
  2. 2)Другий за хвилину: 200 : 5 = 40 л.
  3. 3)Разом за хвилину: 30 + 40 = 70 л.
  4. 4)Час: 490 : 70 = 7 хв.

Відповідь: 7 хв.

Спробуй сам

  1. Обчисли або поясни, чому не можна: 58 : 58; 0 : 23; 640 : 1; 9 : 0.
  2. Відомо, що 214 · 35 = 7490. Чому дорівнює 7490 : 214? А 7490 : 35?
  3. 3800 : 10; 52 000 : 100; 4 070 000 : 1000.
  4. 4752 : 6.
  5. 5624 : 8.
  6. 9384 : 23.
  7. 31 824 : 36.
  8. 81 158 : 238.
  9. Перевір множенням: 6912 : 32 = 216; 5472 : 24 = 226.
  10. Знайди значення виразу 2952 : 24 + 4263 : 21.
  11. 36 : 6 = 6. Як зміниться частка, якщо ділене збільшити в 4 рази, а дільник — у 2 рази?
  12. Обчисли зручним способом: (56 · 37) : 14.
  13. З 25 га зібрали 150 т пшениці. Яка врожайність у т/га і ц/⁠га?
  14. Автомобіль проїхав 348 км за 4 год. Скільки він проїде за 6 год із тією самою швидкістю?
  15. Між містами 900 км. Два автобуси виїхали одночасно назустріч і зустрілися через 6 год. Швидкість одного — 70 км/год. Яка швидкість другого?
  16. Перший кран вантажить 120 т за 4 год, другий — 150 т за 3 год. За скільки годин вони разом завантажать 480 т?
Перевірити відповіді
  1. 1; 0; 640; на нуль ділити не можна.
  2. 35; 214.
  3. 380; 520; 4070.
  4. 792.
  5. 703.
  6. 408.
  7. 884.
  8. 341.
  9. Перше правильно: 216 · 32 = 6912. Друге неправильно: 226 · 24 = 5424, правильна частка 228.
  10. 326.
  11. Частка збільшиться в 2 рази: 144 : 12 = 12.
  12. 148.
  13. 6 т/га, або 60 ц/⁠га.
  14. 522 км.
  15. 80 км/год.
  16. 6 год.

Повне розв’язання завдання 8

−81158238
714341
−975
952
−238
238
0
  1. 1)8 і 81 менші за 238, тому перше неповне ділене — 811. У частці три цифри.
  2. 2)Прикидка: 8 : 2 → 4, але 238 · 4 = 952 більше за 811. Беремо 3: 238 · 3 = 714, 811 − 714 = 97.
  3. 3)Зносимо 5: 975. Прикидка: з 975 і 238 лишаються 9 і 2, 9 : 2 → 4. 238 · 4 = 952, 975 − 952 = 23.
  4. 4)Зносимо 8: 238. 238 · 1 = 238, остача 0. Перевірка: 341 · 238 = 81 158.

Повне розв’язання завдання 16

1)Перший за годину: 120 : 4 = 30 т
2)Другий за годину: 150 : 3 = 50 т
3)Разом за годину: 30 + 50 = 80 т
4)Час: 480 : 80 = 6 год

Якщо твоя відповідь не збіглася з відповіддю в «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».

Для батьків

Дайте дитині 24 ґудзики чи монети й попросіть розкласти порівну в 4 купки. Потім запитайте, як перевірити множенням, що в кожній купці 6. А коли дитина ділить куточком, хай спершу скаже, скільки цифр буде в частці.

Повідомити про помилку