Властивості множення: переставна, сполучна і розподільна з прикладами зручних обчислень

3 ряди по 5 кружечків — це також 5 стовпчиків по 3 кружечки.

1. 1)Рахуємо рядами: у кожному з 3 рядів по 5 кружечків. Отже, 5 · 3 = 15.
2. 2)Рахуємо стовпчиками: у кожному з 5 стовпчиків по 3 кружечки. Отже, 3 · 5 = 15.

Кружечки ті самі, тому й кількість та сама: 5 · 3 = 3 · 5.

Кожен кружечок — цукерка. Дві коробки, у кожній 3 ряди по 4 цукерки.

1. 1)Спершу одна коробка: 4 · 3 = 12 цукерок. Коробок дві: 12 · 2 = 24. Записуємо (4 · 3) · 2.
2. 2)Тепер рахуємо ряди в обох коробках разом: 3 · 2 = 6. У кожному ряду 4 цукерки: 4 · 6 = 24. Записуємо 4 · (3 · 2).

Цукерки ті самі, тому (4 · 3) · 2 = 4 · (3 · 2). Отже, множники можна групувати так, як зручно.

Приклад 1. Шукаємо «круглі» пари

1. 1)У першому добутку 4 і 25 разом дають 100. Ставимо їх поруч і беремо в дужки.
2. 2)У другому добутку записуємо 2500 як 25 · 100, а 400 як 4 · 100. Групуємо 25 з 4, а 100 зі 100.
3. 3)Множимо на 100 і на 10 000: приписуємо нулі.

Відповідь: 1) 1900; 2) 1 000 000.

Приклад 2. Розкладаємо один множник

Іноді «круглої» пари немає. Тоді один множник записуємо як добуток двох чисел.

1. 1)36 = 4 · 9. Число 4 утворює пару з 25.
2. 2)56 = 8 · 7. Число 8 утворює пару зі 125.
3. 3)45 · 2 = 90 — кругле число. Тому 120 записуємо як 2 · 60. Далі 90 · 60 = 5400.

Відповідь: 1) 900; 2) 7000; 3) 5400.

Приклад 3. Спрощуємо вираз із буквами

Числа перемножуємо, букви лишаємо. Знак «·» між числом і буквою не пишемо, як у § 6.

1. 1)У першому виразі переставляємо букву $a$ в кінець і множимо 6 на 9.
2. 2)У другому збираємо разом усі числа: 2 · 5 · 3 = 30. Букви пишемо після числа.
3. 3)У третьому спершу спрощуємо, а потім підставляємо число. Так рахувати легше, ніж 4 · 173 · 25.

Відповідь: 1) $54a$; 2) $30abc$; 3) $100a$, значення 17 300.

Приклад 4. Порівнюємо добутки без обчислень

1. 1)Шукаємо однакові множники в обох добутках. Порівнюємо лише ті, що відрізняються.
2. 2)Якщо однакових множників не видно, групуємо числа в одному добутку. Тут 8 · 5 = 40.

Відповідь: 1) перший добуток більший; 2) добутки рівні.

4 помаранчеві ряди і 2 сині. У кожному ряду 6 кружечків.

1. 1)Рахуємо всі ряди разом: їх 4 + 2 = 6. Кружечків (4 + 2) · 6 = 36.
2. 2)Рахуємо кольори окремо: помаранчевих 4 · 6 = 24, синіх 2 · 6 = 12. Разом 24 + 12 = 36.

Отже, (4 + 2) · 6 = 4 · 6 + 2 · 6. За переставною властивістю байдуже, яке число писати першим: кількість рядів чи кількість у ряду.

Було 6 рядів по 5 кружечків. Два бліді ряди забрали.

1. 1)Лишилося 6 − 2 = 4 ряди. Кружечків (6 − 2) · 5 = 20.
2. 2)Або так: було 6 · 5 = 30, забрали 2 · 5 = 10. Лишилося 30 − 10 = 20.

Отже, (6 − 2) · 5 = 6 · 5 − 2 · 5.

Приклад 5. Виносимо спільний множник

Множник, який є в кожному добутку, називатимемо спільним. Його пишемо за дужками один раз.

1. 1)Знаходимо число, яке є в кожному добутку: 314, 128 або 56. Воно може стояти першим або другим множником: 128 · 57 = 57 · 128.
2. 2)Пишемо його один раз перед дужками або після них: 314 · (66 + 34) = (66 + 34) · 314. У дужках лишаються інші множники з тими самими знаками «+» і «−».
3. 3)Спершу рахуємо в дужках, потім множимо.

Чому це зручно? У дужках вийшло кругле число 100, 10 або 20. Без властивості довелося б кілька разів множити великі числа стовпчиком.

Відповідь: 1) 31 400; 2) 1280; 3) 1120.

Приклад 6. Коли спільний множник видно не одразу

1. 1)У першому виразі перший доданок — просто 2347. Записуємо його як 2347 · 1, бо $a\cdot 1=a$. Тепер 2347 є в кожному доданку.
2. 2)У другому виразі спільний множник 3718 є лише в перших двох доданках. Виносимо його: 12 + 8 = 20.
3. 3)Тепер в обох частинах є множник 20. Виносимо і його: 3718 − 2718 = 1000.
4. 4)У третьому виразі спершу виносимо 3156 у дужках: 41 + 32 = 73. Далі — як у другому.

Відповідь: 1) 23 470; 2) 20 000; 3) 73 000.

Приклад 7. Множник близький до круглого числа

Число, близьке до круглого, записуємо як суму або різницю. Потім множимо кожну частину окремо.

1. 1)11 = 10 + 1, 9 = 10 − 1, 99 = 100 − 1, 103 = 100 + 3, 39 = 40 − 1.
2. 2)Множимо кожну частину: на 10, 100 чи 40 — дописуючи нулі, на 1 чи 3 — усно.
3. 3)У пункті 2) від 580 віднімаємо 58, бо одиницю теж множимо на 58.

Відповідь: 1) 506; 2) 522; 3) 3663; 4) 2472; 5) 2340.

Приклад 8. Розкриваємо дужки

Коли розподільну властивість застосовують до виразу з буквами, отримують вираз без дужок. Це називають розкриттям дужок.

1. 1)Множимо число на кожне число чи вираз у дужках. Знак «+» або «−» між ними лишаємо той самий.
2. 2)Число пишемо перед буквою: $y\cdot 6=6y$, $5\cdot 3m=15m$.

Відповідь: 1) $6y+24$; 2) $15m-10n$.

Приклад 9. Збираємо доданки з однаковою буквою

Тут розподільну властивість читаємо справа наліво: однакову букву виносимо за дужки.

1. 1)Буква без числа означає одну таку букву: $a=1a$.
2. 2)Число без букви (як 4 у пункті 3) до букв не додаємо. Воно лишається окремо.
3. 3)Щоб знайти значення, спершу спрощуємо, потім підставляємо: рахувати треба лише один добуток.

Відповідь: 1) $10a$; 2) $6b$; 3) $8y-4$; 4) $9m$, значення 1125.

Приклад 10. Порівнюємо вирази, не обчислюючи їх

1. 1)Розкриваємо дужки в першому виразі. Знак «·» перед дужками часто не пишуть: 12(418 + 537) означає те саме, що 12 · (418 + 537).
2. 2)Порівнюємо доданки. Перші доданки однакові: 12 · 418. Другі — 12 · 537 і 11 · 537.
3. 3)12 копій числа 537 більше, ніж 11 копій. Отже, перший вираз більший, і саме на 537.

Відповідь: 12 · (418 + 537) > 12 · 418 + 11 · 537.

Приклад 11. Складаємо вираз із буквами

Яйця пакують у лотки по 30 штук. Лотки склали в $x$ рядів, по $y$ лотків у кожному.

Скільки яєць у всіх лотках? Обчисли, якщо $x=5$, $y=12$.

1. 1)Лотків: $x$ рядів по $y$, тобто $x\cdot y$.
2. 2)У кожному лотку 30 яєць. Усього $30\cdot x\cdot y=30xy$.
3. 3)Підставляємо: 5 · 12 = 60, потім 30 · 60 = 1800.

Відповідь: $30xy$ яєць; 1800 яєць.

Приклад 12. Як зміниться добуток

Один множник збільшили в 3 рази, а другий — у 4 рази. Як зміниться добуток?

1. 1)Беремо будь-які числа, наприклад 6 і 5. Добуток дорівнює 30.
2. 2)Нові множники: 6 · 3 = 18 і 5 · 4 = 20. Групуємо: старий добуток окремо, 3 і 4 окремо.
3. 3)Бачимо 30 · 12. Отже, добуток став у 3 · 4 = 12 разів більшим.
4. 4)З буквами те саме: $(a\cdot 3)\cdot(b\cdot 4)=(a\cdot b)\cdot 12$. Тому з будь-якими числами вийде так само.

Якщо збільшити лише один множник у 3 рази, добуток теж збільшиться в 3 рази. Наприклад, 18 · 5 = 6 · 3 · 5 = (6 · 5) · 3 = 90.

Відповідь: добуток збільшиться в 12 разів.