Ти навчишся розгадувати фокус «Задумай число» за допомогою рівняння. Потім ти складеш власний фокус і покажеш його друзям.
Уже розв’язав вправи про задумане число й шукаєш помилку? Переходь одразу до розділу «Де найчастіше помиляються».
Як показують фокус «Задумай число»
Оля каже Петрові: «Задумай число. Помнож його на 3. До результату додай 7. Скажи, що вийшло». Петро рахує подумки й відповідає: «31». Оля одразу каже: «Ти задумав 8», і Петро дивується, бо справді задумав 8.
Петро наприкінці додав 7, тому Оля від 31 відняла 7 і отримала 24. Перед цим Петро помножив число на 3, тому Оля 24 поділила на 3 й отримала 8. Оля почала з останньої дії Петра й кожну дію Петра скасувала протилежною дією.
| Петро: 8 · 3 = 24; 24 + 7 = 31. |
| Оля: 31 − 7 = 24; 24 : 3 = 8. |
Чому фокус — це рівняння
Задумане число невідоме, тому його позначають буквою $x$. Дії Петра записують виразом $3x + 7$, а результат, який він назвав, дорівнює 31. Рівняння $3x + 7 = 31$ описує фокус. Щоб розгадати фокус, розв’яжи це рівняння, тобто знайди $x$.
Кожна дія має обернену дію, яка її скасовує. У таблиці показано, що робить фокусник у відповідь на кожну дію друга.
| Що зробив друг | Що робить фокусник |
|---|---|
| додав число | віднімає це число |
| відняв число | додає це число |
| помножив на число | ділить на це число |
| поділив на число | множить на це число |
Щоб знайти невідомий доданок, від суми віднімають відомий доданок. Щоб знайти невідоме зменшуване, до різниці додають від’ємник. Щоб знайти невідомий множник, добуток ділять на відомий множник. Щоб знайти невідоме ділене, частку множать на дільник.
Як розгадати фокус
- Познач задумане число буквою $x$ і запиши дії друга по порядку одним виразом. Якщо додавання або віднімання відбулося раніше за множення чи ділення, візьми суму або різницю в дужки. Без дужок множення чи ділення стосуватиметься лише останнього числа.
- Прирівняй вираз до числа, яке назвав друг, і отримаєш рівняння.
- Розв’язуй рівняння з останньої дії друга й замінюй кожну дію оберненою, рухаючись від кінця до початку. Остання дія схожа на верхній шар, тому її скасовують першою.
- Підстав знайдене число й виконай дії друга по порядку. Відповідь правильна, якщо вийде назване число, бо саме ці дії виконав друг.
Приклад 1. Знайди число, яке задумав Петро
Петро задумав число, помножив його на 3, додав до добутку 7 і отримав 31. Яке число задумав Петро?
Розв’язання.
Познач задумане число буквою $x$. Після множення на 3 вираз дорівнює $3x$. Після додавання 7 виходить $3x + 7$. Петро назвав 31, тому $3x + 7 = 31$. Дужки не потрібні, бо множення виконують раніше за додавання.
| $3x + 7 = 31$, | $3x$ — невідомий доданок |
| $3x = 31 - 7$, | |
| $3x = 24$, | тепер $x$ — невідомий множник |
| $x = 24 : 3$, | |
| $x = 8$. |
Перевірка: 8 · 3 + 7 = 24 + 7 = 31.
Відповідь: Петро задумав число 8.
Розв’язуючи рівняння, ми виконали ті самі обернені дії, що й Оля подумки: спершу відняли 7, потім поділили на 3. Останньою дією Петра було додавання 7, тому її скасували першою.
Приклад 2. Розгадай фокус, у якому спершу додають, а потім множать
Марко задумав число, додав до нього 4 і помножив отриману суму на 5. Потім він відняв від результату 6 і отримав 49. Яке число задумав Марко?
Розв’язання.
Познач задумане число буквою $x$. Марко спершу отримав суму $x + 4$ і помножив саме її на 5, тому записуємо $(x + 4) \cdot 5$; без дужок множення стосувалося б лише числа 4. Потім він відняв 6 і отримав 49.
| $(x + 4) \cdot 5 - 6 = 49$, | $(x + 4) \cdot 5$ — невідоме зменшуване |
| $(x + 4) \cdot 5 = 49 + 6$, | |
| $(x + 4) \cdot 5 = 55$, | тепер $x + 4$ — невідомий множник |
| $x + 4 = 55 : 5$, | |
| $x + 4 = 11$, | тепер $x$ — невідомий доданок |
| $x = 11 - 4$, | |
| $x = 7$. |
Перевірка: (7 + 4) · 5 − 6 = 11 · 5 − 6 = 55 − 6 = 49.
Відповідь: Марко задумав число 7.
У фокусі Марка було три дії, тому рівняння розв’язуємо в три кроки. Спершу додаємо 6, потім ділимо на 5, а насамкінець віднімаємо 4: обернені дії йдуть у зворотному порядку.
Як скласти свій фокус
Друг може задумати будь-яке число, навіть 1, тому кожну дію фокусу має бути можна виконати з будь-яким задуманим числом. Множення й додавання завжди можна виконати. Віднімай лише тоді, коли число вже збільшили додаванням чи множенням, і перевір фокус на числі 1. Якщо з числом 1 віднімання вдається, воно вдасться й з більшим, бо після додавання чи множення більше число лишається більшим.
У власному фокусі краще не використовуй ділення, бо результат друга може не ділитися на твій дільник без остачі. Наприклад, у фокусі «додай 1, поділи на 3» із числом 3 вийде 4. Число 4 на 3 без остачі не ділиться. У задачах про задумане число ділення буває, бо число вже задумали й підібрали до нього дії.
Щоб відповідати одразу, підготуй ключ — обернені дії до дій фокусу, записані у зворотному порядку. Ці дії однакові для будь-якого числа, яке назве друг. Тому ключ записують один раз і застосовують до кожної відповіді друга.
Приклад 3. Склади фокус із трьох дій і підготуй ключ
Склади фокус із трьох дій, які можна виконати з будь-яким задуманим числом. Запиши ключ і перевір фокус на одному числі.
Розв’язання.
Візьмемо множення на 2, додавання 9 і множення на 5: усі ці дії можна виконати з будь-яким числом. Навпроти кожної дії в таблиці запиши обернену дію.
| Дія фокусу | Обернена дія |
|---|---|
| 1) помнож на 2 | поділи на 2 |
| 2) додай 9 | відніми 9 |
| 3) помнож на 5 | поділи на 5 |
Читай обернені дії знизу вгору — від останньої дії фокусу до першої. Отримаєш ключ: поділи число друга на 5, від частки відніми 9, а різницю поділи на 2.
Перевіримо фокус на числі 6: спершу виконаємо його дії, а потім застосуємо ключ.
| Друг: 6 · 2 = 12; 12 + 9 = 21; |
| 21 · 5 = 105. |
| Ключ: 105 : 5 = 21; 21 − 9 = 12; |
| 12 : 2 = 6. |
Відповідь: фокус «помнож на 2, додай 9, помнож на 5»; ключ «поділи на 5, відніми 9, поділи на 2».
У ключі ти ділиш на 5 число, яке друг отримав множенням на 5. Потім ділиш на 2 число, яке він отримав множенням на 2, тому ділення проходить без остачі.
Як перевірити себе
- Проведи знайдене число через усі дії друга по порядку. Якщо отримаєш назване число, відповідь правильна, бо саме ці дії виконав друг.
- Перевір, з якої дії ти почав розв’язувати рівняння. Обернені дії виконують від останньої дії друга до першої, бо останню дію скасовують першою.
- Перечитай вираз і перевір дужки. Якщо додавання або віднімання відбулося раніше за множення чи ділення, візьми суму або різницю в дужки. Без дужок множення чи ділення стосуватиметься лише останнього числа в сумі або різниці.
Де найчастіше помиляються
Помилка 1. Почали розв’язувати з першої дії друга
Завдання: друг помножив задумане число на 2, до результату додав 6 і отримав 20. Яке число він задумав?
Неправильно
| 20 : 2 = 10; 10 − 6 = 4 |
Правильно
| 20 − 6 = 14; 14 : 2 = 7 |
Останньою дією було додавання 6, тому спершу від 20 треба відняти 6. Перевірка відповіді 4 дає 4 · 2 + 6 = 14. Друг назвав 20, тому число 4 не підходить.
Помилка 2. Не взяли в дужки суму, яку множили
Завдання: друг додав до задуманого числа 3, отриману суму помножив на 4 і отримав 32. Яке число він задумав?
Неправильно
| $x + 3 \cdot 4 = 32$, |
| $x + 12 = 32$, |
| $x = 20$. |
Правильно
| $(x + 3) \cdot 4 = 32$, |
| $x + 3 = 32 : 4$, |
| $x + 3 = 8$, |
| $x = 8 - 3$, |
| $x = 5$. |
Друг помножив на 4 усю суму, але за порядком дій без дужок на 4 множать лише число 3. Якщо задумане число дорівнювало 20, то після додавання й множення вийшло б 23 · 4 = 92, а не 32.
Помилка 3. Віднімання спробували скасувати відніманням
Завдання: друг помножив задумане число на 2, від результату відняв 4 і отримав 16. Яке число він задумав?
Неправильно
| $2x - 4 = 16$, |
| $2x = 16 - 4$, |
| $2x = 12$, |
| $x = 6$. |
Правильно
| $2x - 4 = 16$, |
| $2x = 16 + 4$, |
| $2x = 20$, |
| $x = 10$. |
У рівнянні $2x - 4 = 16$ вираз $2x$ є невідомим зменшуваним, тому до різниці треба додати від’ємник: $16 + 4$. Друг відняв 4, отже фокусник має додати 4.
Спробуй сам
У завданнях 1–4 знайди задумане число за допомогою рівняння та перевір відповідь.
- Ліна задумала число, помножила його на 4, додала до добутку 9 і отримала 45. Яке число задумала Ліна?
- Денис задумав число, відняв від нього 6, а різницю помножив на 3 й отримав 27. Яке число задумав Денис?
- Софія задумала число, додала до нього 8, поділила суму на 5, а від частки відняла 2. Вийшло 4. Яке число задумала Софія?
- Тарас задумав число, поділив його на 3, додав до частки 15 і отримав 22. Яке число задумав Тарас?
- Оля склала фокус: «Задумай число, додай до нього 3, а суму поділи на 2». Перевір, чи завжди друг зможе виконати ці дії без остачі, і, якщо ні, назви число, з яким фокус не вийде.
Перевірити відповіді
- 9.
- 15.
- 22.
- 21.
- Не завжди: наприклад, із числом 2 фокус не вийде.
Повне розв’язання завдання 3
Познач задумане число буквою $x$. Сума $x + 8$ стоїть у дужках, бо її ділять на 5, а після цього віднімають 2 і отримують 4; рівняння має вигляд $(x + 8) : 5 - 2 = 4$.
| $(x + 8) : 5 - 2 = 4$, | $(x + 8) : 5$ — невідоме зменшуване |
| $(x + 8) : 5 = 4 + 2$, | |
| $(x + 8) : 5 = 6$, | тепер $x + 8$ — невідоме ділене |
| $x + 8 = 6 \cdot 5$, | |
| $x + 8 = 30$, | тепер $x$ — невідомий доданок |
| $x = 30 - 8$, | |
| $x = 22$. |
Перевірка: (22 + 8) : 5 − 2 = 30 : 5 − 2 = 6 − 2 = 4.
Повне розв’язання завдання 5
Перевіримо фокус на числі 2: після додавання 3 виходить 5, але 5 на 2 без остачі не ділиться. Рівність $5 = 2 \cdot 2 + 1$ показує, що остача дорівнює 1. Отже, фокус Олі вдається не з кожним числом, тому ділення краще не використовувати у власному фокусі.
Якщо твоя відповідь не збіглася з відповіддю в розділі «Перевірити відповіді», повернися вище, до розділу «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Покажіть дитині фокус, який Оля показала Петрові: попросіть помножити задумане число на 3, додати 7 і назвати результат. Попросіть дитину записати дії рівнянням і розв’язати його з останньої дії. Так дитина побачить, що обернені дії з § 12 допомагають розгадати фокус.
Попросіть дитину скласти власний фокус і показати його вам. Запитайте, чому в цьому фокусі немає ділення і чому віднімання можна виконати лише після збільшення числа. Якщо дитина пояснить ці правила своїми словами, вона розуміє, як працюють обернені дії.