Ти навчишся відрізняти промінь і пряму від відрізка та правильно називати ці фігури. Ти також навчишся знаходити доповняльні промені, з’ясовувати, чи перетинаються фігури, і розв’язувати задачі з двома можливими розташуваннями точок.
Ти вже розв’язав вправи й хочеш знайти помилку? Почни з «Де найчастіше помиляються»: там розібрано назви променів, доповняльні промені, перетин фігур і задачі з двома випадками.
Як із відрізка утворити промінь і пряму
Якщо продовжити відрізок AB за точку B без кінця, він стане променем AB з початком у точці A. Кінця промінь не має, тому його довжину виміряти не можна. На малюнку промінь починається в позначеній точці, а з другого боку лінія просто обривається: подумки продовж її без кінця.
Назву променя починай із букви його початку, а потім назви іншу точку на промені. Тому AB і BA — різні промені: BA починається в точці B і йде через A в протилежний бік. Промінь BA можна накреслити, продовживши відрізок AB за точку A.
Якщо продовжити відрізок AB без кінця в обидва боки, утвориться пряма. Пряма не має ні початку, ні кінця, тому її не можна виміряти. Назви її двома точками в будь-якому порядку — AB або BA — чи малою латинською буквою a.
Через будь-які дві точки проходить тільки одна пряма, тому двох точок досить, щоб її назвати. Через одну точку можна провести скільки завгодно прямих, повертаючи навколо неї лінійку. Щоб позначити три точки на одній прямій, спершу проведи пряму, а тоді постав на ній точки.
Точка, відрізок, промінь і пряма — геометричні фігури на площині. Площину можна уявити як поверхню стола чи аркуш зошита, що продовжується без кінця в усі боки.
| Фігура | Кінці | Довжина | Назва |
|---|---|---|---|
| відрізок AB | A і B | можна виміряти | AB або BA |
| промінь AB | лише початок A | немає | лише AB |
| пряма AB | немає | немає | AB, BA або a |
Фігуру на малюнку розпізнавай за позначеними кінцями лінії, бо прямі й промені малюють шматками, і лінія може обриватися будь-де. Якщо лінія має два позначені кінці, це відрізок; якщо позначено лише один кінець, це промінь; якщо жоден кінець лінії не позначено точкою-кінцем і фігуру названо прямою, це пряма. Точка на продовженні намальованої прямої теж належить цій прямій.
Доповняльні промені
Точка O на прямій ділить її на промені OP і OR з початком O. Ці промені називають доповняльними, бо вони йдуть у протилежні боки та разом утворюють пряму. Їхня спільна частина — лише спільний початок, точка O.
Синій промінь OP і помаранчевий промінь OR разом утворюють пряму.
Приклад 1. Назви всі відрізки, прямі й промені на малюнку
На прямій позначили точки A, B і C саме в такому порядку. Запиши всі відрізки, прямі й промені, які можна назвати цими буквами, та знайди доповняльні промені.
Розв’язання.
- 1)Відрізки: AB, BC, AC.
- 2)Пряма одна: AB (її можна назвати також AC або BC).
- 3)Промені: AB, BA, BC, CB.
- 4)Доповняльні промені: BA і BC.
Відповідь: відрізки AB, BC, AC; пряма AB; промені AB, BA, BC, CB; доповняльні промені BA і BC.
Відрізок сполучає дві точки, тому з’єднай кожну точку з кожною. Так утворюються AB, BC та довгий відрізок AC, на якому лежить B; усього є три відрізки.
Через будь-які дві точки проходить лише одна пряма, а всі точки тут лежать на одній прямій. Тому пряма одна, хоча її можна назвати AB, AC або BC.
Від кожної точки промені йдуть у два боки. AB і AC — дві назви одного променя, CB і CA — іншого; для кожного залиш одну назву. Промені від A ліворуч і від C праворуч не назвеш цими буквами, бо на них немає інших позначених точок.
Промені BA і BC мають спільний початок B і йдуть у протилежні боки. Разом вони утворюють пряму, тому ці промені доповняльні.
Приклад 2. З’ясуй, які точки належать променю, а які — відрізку
На прямій позначили точки K, L, M, N і P саме в такому порядку. Які з них належать променю LN, а які — відрізку LN?
Розв’язання.
- 1)Променю LN належать точки L, M, N, P.
- 2)Відрізку LN належать точки L, M, N.
Відповідь: променю LN належать точки L, M, N, P, а відрізку LN — точки L, M, N.
Промінь LN починається в L, проходить через N і продовжується далі, тому йому належать L, M, N і P. Відрізок LN закінчується в N, тому P йому не належить.
Точка K лежить з іншого боку від L, тому вона не належить променю LN. Перша буква назви променя показує його початок, а друга — напрям.
Про точку, що лежить на відрізку між його кінцями, кажуть ще, що вона лежить між ними. Тут точка M лежить між точками L і N.
Як з’ясувати, чи перетинаються фігури
Пряму продовжують подумки в обидва боки, бо вона не має кінців. Промінь іде від початку в один бік, тому продовжуй його лише туди — за точку, позначену другою буквою назви. Відрізок не продовжують, тож фігури можуть перетинатися, навіть коли намальовані частини не дотикаються.
Приклад 3. З’ясуй, чи перетинає пряма відрізок і промені
На малюнку зображено пряму MN і відрізок PQ над нею. Чи перетинаються:
1) пряма MN і відрізок PQ;
2) пряма MN і промінь PQ;
3) пряма MN і промінь QP?
Розв’язання.
- 1)Пряма MN і відрізок PQ не перетинаються;
- 2)пряма MN і промінь PQ не перетинаються;
- 3)пряма MN і промінь QP перетинаються.
Відповідь: 1) ні; 2) ні; 3) так.
Відрізок PQ за його кінці не продовжують. Промінь продовжують лише від початку через точку, позначену другою буквою назви. Відрізок PQ увесь лежить над прямою MN, а промінь PQ іде від P через Q далі вгору, тому вони не перетинаються. Промінь QP іде від Q через P униз, і його продовження перетинає пряму MN у позначеній точці.
Так само перевіряють, чи перетинаються дві прямі або два промені: кожну пряму продовжують в обидва боки, а кожен промінь продовжують лише від початку в той бік, куди він іде. Потім дивляться, чи зустрілися лінії.
На скільки частин фігури ділять площину
Щоб полічити частини площини, накресли фігури й зважай, що пряма доходить до обох країв аркуша, а промінь — до одного. Потім познач частини, які лінії відокремили одна від одної, і порахуй їх.
Приклад 4. Знайди, на скільки частин пряма і промінь ділять площину
Накреслили пряму a і промінь OK з початком O на ній; промінь іде від прямої a вгору. На скільки частин пряма a і промінь OK ділять площину?
Розв’язання.
Пряма a ділить площину на частини над нею та під нею. Промінь OK лежить над прямою і доходить до краю, тому розділяє верхню частину на частини 1 і 2, а нижню частину 3 не змінює. Разом маємо 2 + 1 = 3 частини.
Відповідь: на 3 частини.
Промінь не продовжується за свій початок O, тому під прямою він не розділяє площину. Друга пряма, проведена через точку O, продовжувалася б за O в обидва боки, тому розрізала б і нижню частину.
Як відкласти відрізок на промені
Як відкласти на промені відрізок заданої довжини?
- Приклади лінійку вздовж променя так, щоб поділка 0 була на його початку, а шкала йшла в напрямі променя. Так ти відкладаєш відрізок від початку і саме по променю.
- Знайди на шкалі потрібну довжину, познач навпроти неї точку на промені й підпиши її буквою. Для відрізка AK = 3 см від A точку K постав навпроти поділки 3.
- Кожен наступний відрізок починай від кінця попереднього. Якщо відкладаєш два відрізки по 2 см, кінець другого буде навпроти поділки 4, бо 2 + 2 = 4.
На промені з початком A позначили B і відклали відрізок AK. Точки B і K лежать по один бік від A, тому коротший із відрізків AB і AK є частиною довшого. Щоб знайти BK, від довшого відрізка відніми коротший.
Як накреслити фігури за умовою
Приклад 5. Накресли пряму, промінь і відрізок за умовою
Накресли пряму a, промінь OK і відрізок EF так, щоб промінь OK перетинав пряму a та відрізок EF, а пряма a не перетинала відрізок EF.
Розв’язання.
- 1)Почни з прямої a, бо дві інші умови стосуються саме її: відрізок має лежати по один бік від прямої, а промінь має її перетинати. Тому спершу проведи пряму, а тоді вирішуй, де ставити інші фігури.
- 2)Накресли відрізок EF цілком по один бік від прямої a, наприклад над нею. Тоді пряма не перетне відрізок, навіть якщо продовжити її за край малюнка.
- 3)Постав O під прямою a й проведи промінь через відрізок EF; на промені за відрізком познач K. Промінь іде вгору, тому спершу перетинає пряму, а потім відрізок.
Червоним обведено точки, де промінь OK перетинає пряму a та відрізок EF.
Після креслення перевір кожну умову окремо. Продовж пряму пунктиром за край малюнка: якщо вона перетне відрізок, побудова неправильна.
Задачі про точки, які можна розташувати по-різному
Приклад 6. Знайди відстань між точками на прямій у двох випадках
На прямій позначили точки M, N і P, причому MN = 25 см, а NP = 15 см. Знайди відстань між M і P. Скільки випадків має задача?
Розв’язання. В умові не сказано, з якого боку від N лежить P, тому розглянемо два випадки.
Якщо P лежить за N, точки розташовані в порядку M, N, P. Відрізок MP складається з MN і NP, тому їхні довжини додаємо.
MP = 25 + 15 = 40 (см).
Якщо P лежить між M і N, точки розташовані в порядку M, P, N. Тоді MP — частина MN, тому від MN віднімаємо NP. У другому випадку від більшої з двох відомих відстаней відніми меншу, бо коротший відрізок є частиною довшого.
MP = 25 − 15 = 10 (см).
Відповідь: 40 см або 10 см; задача має два випадки.
Точка на прямій може лежати з будь-якого боку від іншої точки, тому розглянь обидва можливі розташування P. Якби P лежала ліворуч від M, відрізок NP містив би весь відрізок MN. Тоді NP був би довшим за 25 см, а він дорівнює лише 15 см, тому третього випадку немає.
Так само знаходять відстані між селами або зупинками вздовж прямої дороги. Шукана відстань дорівнює сумі або різниці двох відомих відстаней.
Як перевірити себе
- Перша буква назви променя має позначати його початок, звідки лінія йде в один бік. Тому звір назву з точкою, від якої промінь починається на малюнку.
- Якщо дві назви променя мають однакову першу букву, перевір, чи лежать другі точки від початку в той самий бік. Якщо так, обидві назви позначають один промінь, тому в списку залиш одну назву.
- Перед тим як назвати промені доповняльними, перевір їхній спільний початок і напрямки. Вони мають іти в протилежні боки, щоб разом утворювати пряму.
- Перш ніж відповісти, що фігури не перетинаються, продовж пунктиром пряму в обидва боки, а промінь — від початку в той бік, куди він іде. Намальований шматок прямої не показує її повністю.
- Якщо порядок точок на прямій не задано, накресли обидва розташування. Перевір кожну відповідь: сума довжин частин має дорівнювати довжині всього відрізка.
Де найчастіше помиляються
У назві променя першою записали не початок
Завдання: назви промінь на малюнку.
Неправильно
| Промінь KO. |
Правильно
| Промінь OK. |
Промінь на малюнку починається в O і проходить через K, тому його назва починається з O. Назва KO позначала б промінь із початком K, який іде через O у протилежний бік.
Доповняльними назвали промені з різними початками
Завдання: на прямій позначили точки M і N. Чи є промені MN і NM доповняльними?
Неправильно
| Так, бо промені йдуть у протилежні боки. |
Правильно
| Ні, бо в променів різні початки: M і N. |
Доповняльні промені мають спільний початок. Промені MN і NM накладаються на відрізку MN, тому їхня спільна частина — відрізок, а не точка. Доповняльний до MN промінь починається в M і йде в протилежний від N бік.
Врахували лише видимий шматок прямої
Завдання: чи перетинаються пряма AB і відрізок CD?
Неправильно
| Ні, бо на малюнку вони не дотикаються. |
Правильно
| Так: продовження прямої AB перетинає CD. |
Пряма не закінчується ні в точці B, ні там, де зображення обривається. Якщо продовжити її пунктиром, вона проходить між C і D та перетинає відрізок CD.
Розглянули лише одне розташування точок на прямій
Завдання: на прямій позначили точки A, B і C, причому AB = 12 см, BC = 5 см. Знайди відстань AC.
Неправильно
| AC = 12 + 5 = 17 (см). |
Правильно
| 1-й випадок: AC = 12 + 5 = 17 (см); |
| 2-й випадок: AC = 12 − 5 = 7 (см). |
В умові не сказано, з якого боку від B лежить C. Тому C може бути за B або між A та B. Якщо порядок точок не задано, перевір обидва розташування.
Спробуй сам
- На прямій позначили точки D, E, F і G саме в такому порядку. Запиши всі відрізки й усі промені, які можна назвати цими буквами; кожен промінь запиши однією назвою.
- Прямі AB і CD перетинаються в точці O, яка лежить між A і B та між C і D. Назви всі промені з початком O і всі пари доповняльних променів.
- Накресли промінь OA та доповняльний до нього промінь OB. На OA відклади від O відрізок OM = 2 см 5 мм, а на OB — ON = 2 см 5 мм. Знайди відстань між M і N.
- На прямій позначили точки A, B, C і D саме в такому порядку. Чи правильно, що:
1) точка D належить променю BC;
2) точка A належить променю BC;
3) точка C лежить між точками B і D? - На скільки частин ділять площину три прямі, які перетинаються в одній точці?
- На прямій позначили точки C і D. Яка фігура є спільною частиною променів CD і DC?
- На прямій позначили точки K, L і M, причому KL = 9 см, а LM = 14 см. Знайди відстань між K і M. Скільки випадків має задача?
Перевірити відповіді
- Відрізки: DE, DF, DG, EF, EG, FG — 6 відрізків; промені: DE, ED, EF, FE, FG, GF.
- Промені OA, OB, OC, OD; доповняльні: OA і OB, OC і OD.
- MN = 5 см.
- 1) так; 2) ні; 3) так.
- На 6 частин.
- Відрізок CD.
- KM = 23 см або KM = 5 см; два випадки.
Повне розв’язання завдання 3
Промені OA і OB доповняльні, тому вони йдуть від O в протилежні боки, а O лежить між N і M. Відрізок NM складається з NO і OM, тому їхні довжини треба додати після переведення в міліметри.
- 1)2 см 5 мм = 25 мм;
- 2)MN = 25 + 25 = 50 (мм);
- 3)50 мм = 5 см.
Повне розв’язання завдання 7
Порядок точок в умові не задано, тому M може лежати за L або з того боку від L, де лежить K. Отже, треба перевірити обидва розташування.
- 1)1-й випадок, порядок K, L, M: KM = 9 + 14 = 23 (см);
- 2)2-й випадок, порядок M, K, L: KM = 14 − 9 = 5 (см).
У другому випадку K лежить між M і L, бо KL = 9 см коротший за LM = 14 см. Тому KM — це частина LM без KL.
Якщо твоя відповідь не збіглася з відповіддю в «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Попросіть дитину накреслити відрізок AB, а потім продовжити його за B, щоб утворити промінь AB, і за A, щоб накреслити промінь BA. Запитайте, чим вони відрізняються та яку букву в назві променя пишуть першою і чому: перша буква позначає початок променя. У задачах про точки на прямій запитайте, чи може ця точка лежати з іншого боку від сусідньої точки: так дитина перевірить усі випадки.