Повідомити про помилку
* - Обов'язкові поля
Відправити

Відрізок і його довжина: вимірювання, побудова, одиниці довжини

Ти навчишся вимірювати й будувати відрізки, переводити сантиметри в міліметри та знаходити довжину частини відрізка.

Якщо ти вже розв’язав вправи й шукаєш помилку, почни з розділу «Де найчастіше помиляються». Там показано, як ці помилки виглядають у зошиті та як їх помітити.

Відрізок та його назва

Познач дві точки A і B та сполучи їх під лінійку. Отримаєш відрізок AB, кінцями якого є точки A і B. Його називають AB або BA.

Відрізок AB. Точки A і B — його кінці

Слід загостреного олівця нагадує точку, а натягнута нитка — відрізок. Дві точки можна сполучити лише одним відрізком, тому його назва за кінцями точно вказує на нього.

Як назвати всі відрізки на малюнку

Приклад 1. Запиши всі відрізки на малюнку

На відрізку AB позначили точки K і M у такому порядку: A, K, M, B. Запиши назви всіх відрізків на малюнку.

Відрізок AB, на ньому позначено точки K і M. Точки йдуть по порядку: A, K, M, B

Розв’язання.

Почни з точки A і назви відрізки до кожної точки праворуч. Потім так само назви відрізки від K, а далі — від M.

Від A: AK, AM, AB;
від K: KM, KB;
від M: MB.

Відповідь: AK, AM, AB, KM, KB, MB — 6 відрізків.

Перевір кількість: від першої точки виходять 3 відрізки, від другої — 2, від третьої — 1. Разом маємо 3 + 2 + 1 = 6 відрізків; AM, AB і KB теж треба назвати, хоча всередині них стоять інші точки.

Якщо точки не лежать на одному відрізку, називай лише ті відрізки, які справді проведено. Наприклад, якщо кожну з трьох точок сполучили з двома іншими (тобто попарно), вийде трикутник із трьома сторонами. Кожен відрізок називай за його кінцями.

Одиниці довжини та вимірювання лінійкою

Виміряти відрізок — означає з’ясувати, скільки одиниць довжини в ньому вміщується. Найменші поділки лінійки показують міліметри, а пронумеровані поділки — сантиметри. Довгі відстані вимірюють рулеткою, а сантиметровою стрічкою зручно обміряти предмет, обгорнувши його.

Одиниці довжини
1 см = 10 мм
1 дм = 10 см
1 м = 10 дм = 100 см
1 км = 1000 м

Щоб перевести сантиметри й міліметри в міліметри, помнож сантиметри на 10 і додай міліметри, бо 1 см = 10 мм:
3 см 5 мм = 30 мм + 5 мм = 35 мм.
Так само переведи дециметри й сантиметри в сантиметри, бо 1 дм = 10 см:
2 дм 4 см = 20 см + 4 см = 24 см.

Як виміряти відрізок лінійкою

  1. Приклади лінійку краєм уздовж відрізка й сумісти поділку 0 з одним його кінцем. Від нуля починається відлік сантиметрів.
  2. Подивись, біля якої поділки стоїть другий кінець: число перед ним показує сантиметри, а дрібні рисочки після цього числа — міліметри. Довша риска посередині між числами позначає 5 мм, тож від неї зручно лічити далі. Якщо другий кінець стоїть точно на числі, міліметрів немає і довжина дорівнює цілій кількості сантиметрів.
  3. Запиши довжину в сантиметрах і міліметрах. Якщо потрібно перевести її в міліметри, помнож сантиметри на 10 і додай міліметри.

Приклад 2. Виміряй і порівняй два відрізки

Виміряй відрізки AB і CD на малюнку та порівняй їхні довжини.

Дві лінійки. Над першою відрізок AB: точка A на поділці 0, точка B на 4-й дрібній поділці після числа 5. Над другою відрізок CD: точка C на поділці 0, точка D на 8-й дрібній поділці після числа 4

Розв’язання.

  1. 1)AB = 5 см 4 мм = 54 мм;
  2. 2)CD = 4 см 8 мм = 48 мм;
  3. 3)54 мм > 48 мм, отже, AB > CD.

Відповідь: AB = 5 см 4 мм, CD = 4 см 8 мм; AB > CD.

Точка A стоїть на поділці 0, а B — на четвертій дрібній поділці після числа 5, тому AB = 5 см 4 мм. У міліметрах це 50 + 4 = 54 (мм).

Довжини зручно порівнювати в однакових одиницях, тому обидві записали в міліметрах. Оскільки 54 > 48, відрізок AB довший за CD: AB > CD або CD < AB.

Відрізки однакової довжини називають рівними й записують знаком «=». Щоб побудувати відрізок, довший за перший і коротший за другий, вибери будь-яку довжину, яка більша за довжину першого й менша за довжину другого.

Як побудувати відрізок заданої довжини

  1. Познач у зошиті точку й назви її першою буквою відрізка.
  2. Приклади лінійку так, щоб поділка 0 стояла на цій точці. Тоді шкала покаже довжину відрізка від його початку.
  3. Відлічи потрібну кількість сантиметрів, а тоді міліметрів, і познач другу точку. Для довжини 3 см 6 мм це шоста дрібна поділка після числа 3.
  4. Сполучи точки під лінійку й підпиши другу букву. Перевір довжину вимірюванням, бо точку легко поставити на сусідню поділку.

Точку C називають серединою відрізка AB, якщо AC = CB. Щоб позначити середину відрізка завдовжки 8 см, поділи його довжину на 2:
8 : 2 = 4 (см).
Відклади 4 см від кінця A. Якщо довжина записана в сантиметрах і міліметрах, спершу переведи її в міліметри:
5 см 6 мм = 56 мм, 56 : 2 = 28 (мм).
Відклади 28 мм від кінця A.

Як знайти довжину частини відрізка

Якщо точка M лежить на відрізку AB, його частини разом утворюють весь відрізок: AB = AM + MB. Тому невідому частину знаходять відніманням: MB = AB − AM або AM = AB − MB.

Приклад 3. Знайди довжину частини відрізка

Точка M лежить на відрізку AB. Якщо AB = 8 см 2 мм, а AM = 4 см 5 мм, знайди MB.

Відрізок AB, на ньому точка M. Над відрізком AM підпис 4 см 5 мм, над відрізком MB знак питання, під усім відрізком AB підпис 8 см 2 мм

Розв’язання.

  1. 1)AB = 8 см 2 мм = 82 мм, AM = 4 см 5 мм = 45 мм;
  2. 2)MB = AB − AM = 82 − 45 = 37 (мм);
  3. 3)37 мм = 3 см 7 мм.

Відповідь: MB = 3 см 7 мм.

Від 2 мм не можна відняти 5 мм, тому спершу переведемо обидві довжини в міліметри. Віднімемо 45 від 82 й запишемо 37 мм як 3 см 7 мм.

Перевірка:
45 + 37 = 82 (мм).

Якщо відомі обидві частини, а треба знайти весь відрізок, додай їх: AB = AM + MB. Перед додаванням довжини в сантиметрах і міліметрах переведи в міліметри.

Приклад 4. Знайди частину відрізка з двома точками

На відрізку AB позначили точки C і D у такому порядку: A, C, D, B. Якщо AB = 36 см, AD = 27 см, а CB = 20 см, знайди CD.

Відрізок AB, на ньому точки C і D, порядок A, C, D, B. Над відрізком AD підпис 27 см, вище над відрізком CD знак питання. Під відрізком CB підпис 20 см, нижче під усім відрізком AB підпис 36 см

Розв’язання.

  1. 1)AC = AB − CB = 36 − 20 = 16 (см);
  2. 2)CD = AD − AC = 27 − 16 = 11 (см).

Відповідь: CD = 11 см.

Відрізки AD і CB накладаються, бо обидва містять CD. Тому CD не можна знайти однією дією з відомих довжин. Спершу знайдемо AC як різницю AB і CB, а тоді від AD віднімемо AC.

Перевірка:
DB = 36 − 27 = 9 (см), AC + CD + DB = 16 + 11 + 9 = 36 (см).

Запиши, з яких частин складаються відомі відрізки: AB = AC + CB, AD = AC + CD. Оскільки AB і CB відомі, відніми CB від AB, щоб знайти AC, а потім відніми AC від AD, щоб знайти CD.

Приклад 5. Знайди частини відрізка, одна з яких утричі довша

Точка K лежить на відрізку MN завдовжки 36 см. Відрізок KN у 3 рази довший за MK. Знайди довжини MK і KN.

Відрізок MN завдовжки 36 см, на ньому точка K. Над відрізком 4 однакові дужки: одна синя над MK і три помаранчеві над KN

Синя дужка показує одну частину MK, а три помаранчеві — три такі самі частини KN.

Розв’язання. 1-й спосіб (арифметичний). Якщо MK складається з однієї частини, то KN складається з трьох таких частин, а весь відрізок MN складається з 1 + 3 = 4 таких частин.

  1. 1)1 + 3 = 4 (частини) — у відрізку MN;
  2. 2)36 : 4 = 9 (см) — відрізок MK;
  3. 3)9 · 3 = 27 (см) — відрізок KN.

2-й спосіб (за допомогою рівняння). Позначимо довжину MK буквою $x$, тоді відрізок KN дорівнює $3x$, а рівняння матиме вигляд $x + 3x = 36$. $x$ — це $1x$, тому $x + 3x$ — це $(1 + 3)x$, тобто $4x$.

$x + 3x = 36$;
$(1 + 3)x = 36$;
$4x = 36$;
$x = 36 : 4$;
$x = 9$.
MK = 9 см, KN = 3 · 9 = 27 (см).

Відповідь: MK = 9 см, KN = 27 см.

Перевірка:
9 + 27 = 36 (см), 27 : 9 = 3.

Число 3 показує, у скільки разів KN довший за MK. Увесь відрізок складається з 4 однакових частин, тому ділимо на 4.

Якщо частина в 4 рази коротша за весь відрізок, то весь відрізок складається з 4 таких частин, а решта — з 4 − 1 = 3 частин. Якщо одна частина вдвічі довша за кожну з інших, вважай її двома однаковими частинами. Тоді відрізок із двох коротких частин і однієї вдвічі довшої між ними складається з 1 + 2 + 1 = 4 однакових частин.

Як перевірити себе

  • Якщо накреслив відрізок у зошиті, виміряй його лінійкою. Виміряна довжина має збігтися з потрібною або обчисленою довжиною чи відрізнятися від неї на 1 мм через неточне креслення.
  • Додай знайдені частини: їхня сума має дорівнювати всьому відрізку, бо частини разом його утворюють.
  • Перевір, чи частина коротша за весь відрізок. Частина не може бути довшою, бо вона входить до цілого відрізка.
  • Перед додаванням, відніманням або порівнянням переведи довжини в однакові одиниці. Наприклад, 3 дм = 30 см, тому 3 дм довше за 25 см, хоча число 25 більше за 3.

Де найчастіше помиляються

Почали вимірювати не від нуля

Завдання: виміряй відрізок KL.

Неправильно

Лінійку приклали неправильно: точка K на поділці 1, точка L на 3-й дрібній поділці після числа 6
KL = 6 см 3 мм.

Правильно

Лінійку приклали правильно: точка K на поділці 0, точка L на 3-й дрібній поділці після числа 5
KL = 5 см 3 мм.

Кінець K стоїть на поділці 1, тому перший сантиметр лінійки опинився поза відрізком. Через це прочитане значення на 1 см більше за справжню довжину: 6 см 3 мм замість 5 см 3 мм.

Якщо край лінійки зламаний і поділки 0 не видно, сумісти кінець відрізка з поділкою 1. Від прочитаного значення відніми 1 см.

Назвали лише відрізки між сусідніми точками

Завдання: на відрізку CD позначили точку E. Запиши всі відрізки на малюнку.

Відрізок CD, на ньому позначено точку E. Точки йдуть по порядку: C, E, D

Неправильно

CE, ED.

Правильно

CE, CD, ED.

Відрізок CD теж є на малюнку, хоча посередині стоїть точка E. Сполучи кожну точку з кожною: для трьох точок маємо 2 + 1 = 3 відрізки.

Віднімали сантиметри й міліметри окремо і переставили міліметри

Завдання: від відрізка завдовжки 7 см 1 мм відрізали частину завдовжки 2 см 6 мм. Знайди довжину решти.

Неправильно

7 − 2 = 5 (см), 6 − 1 = 5 (мм).
Відповідь: 5 см 5 мм.

Правильно

7 см 1 мм = 71 мм, 2 см 6 мм = 26 мм;
71 − 26 = 45 (мм) = 4 см 5 мм.
Відповідь: 4 см 5 мм.

У 7 см 1 мм не вистачає міліметрів, щоб відняти 6 мм, а переставляти 1 і 6 не можна. Переведи довжини в міліметри й перевір додаванням: 45 + 26 = 71, а 55 + 26 = 81, тому 5 см 5 мм — хибна відповідь.

Поділили на число разів замість кількості частин

Завдання: точка P належить відрізку AB завдовжки 24 см, відрізок PB у 3 рази довший за відрізок AP. Знайди AP і PB.

Відрізок AB завдовжки 24 см, на ньому точка P. Над відрізком 4 однакові дужки: одна синя над AP і три помаранчеві над PB

Неправильно

1) 24 : 3 = 8 (см) — AP;
2) 8 · 3 = 24 (см) — PB.

Правильно

1) 1 + 3 = 4 (частини);
2) 24 : 4 = 6 (см) — AP;
3) 6 · 3 = 18 (см) — PB.

Перевір додаванням: у хибному розв’язанні 8 + 24 = 32 (см), а весь відрізок має лише 24 см. Весь відрізок складається з 4 однакових частин, тому ділити треба на 4, а не на 3.

Спробуй сам

  1. На відрізку AE позначили точки B, C і D у такому порядку: A, B, C, D, E. Запиши й порахуй усі відрізки.
  2. Порівняй довжини:
    1) 6 см 9 мм і 72 мм;
    2) 3 дм і 28 см.
  3. Накресли відрізок AB завдовжки 7 см 4 мм і познач його середину C. Знайди довжину AC.
  4. Точка K лежить на відрізку CD. Якщо CK = 6 см 4 мм, а KD = 2 см 9 мм, знайди довжину CD.
  5. На відрізку MN позначили точки P і Q у такому порядку: M, P, Q, N. Якщо MN = 50 см, MQ = 36 см, а PN = 30 см, знайди PQ.
  6. Точка C лежить на відрізку AB завдовжки 60 см. Відрізок AC у 5 разів коротший за AB. Знайди CB.
  7. Точка C лежить на відрізку AB. Відрізок CB у 3 рази коротший за AB, а AC = 24 см. Знайди CB і AB.
  8. На відрізку AB завдовжки 20 см позначили точку M так, що AM = 6 см. Знайди відстань між серединами AM і MB.
  9. Накресли відрізок AD і познач на ньому точки B і C у порядку A, B, C, D так, щоб AB = BC = CD = 4 см. Назви інші рівні відрізки на кресленні та знайди їхню довжину.
Перевірити відповіді
  1. AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE — 10 відрізків.
  2. 1) 69 мм < 72 мм, тому 6 см 9 мм < 72 мм; 2) 3 дм = 30 см, 30 см > 28 см, тому 3 дм > 28 см.
  3. AC = 37 мм = 3 см 7 мм.
  4. CD = 64 + 29 = 93 (мм) = 9 см 3 мм.
  5. PQ = 16 см.
  6. CB = 48 см.
  7. CB = 12 см, AB = 36 см.
  8. 10 см.
  9. AC = BD = 8 см; ще AB = BC = CD = 4 см.

Повне розв’язання завдання 7

Відрізок AB, на ньому точка C. Над відрізком 3 однакові дужки: дві сині над AC і одна помаранчева над CB. Під відрізком AC підпис 24 см

Якщо CB — одна частина, то весь AB складається з 3 таких частин. Відрізок AC дорівнює 3 − 1 = 2 частинам, отже, 24 см — це 2 частини.

  1. 1)3 − 1 = 2 (частини) — у відрізку AC;
  2. 2)24 : 2 = 12 (см) — відрізок CB;
  3. 3)12 · 3 = 36 (см) — відрізок AB.

Перевірка:
24 + 12 = 36 (см), 36 : 12 = 3.

Повне розв’язання завдання 8

Відрізок AB, на ньому точки K, M, L. Над відрізком AM підпис 6 см, над відрізком MB підпис 14 см. K — середина AM, L — середина MB. Під відрізком KL знак питання

Позначимо середину AM буквою K, а середину MB — буквою L. Тоді KM і ML — половини відповідних відрізків, а KL = KM + ML.

  1. 1)20 − 6 = 14 (см) — відрізок MB;
  2. 2)6 : 2 = 3 (см) — відрізок KM;
  3. 3)14 : 2 = 7 (см) — відрізок ML;
  4. 4)3 + 7 = 10 (см) — відрізок KL.

Відстань KL дорівнює половині AB, бо складається з половини AM і половини MB. Тому, де б не стояла точка M, відстань між серединами дорівнює 20 : 2 = 10 (см).

Якщо твоя відповідь не збіглася з відповіддю в «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».

Для батьків

Попросіть дитину виміряти лінійкою олівець і зошит та записати довжину в сантиметрах і міліметрах. Перевірте, чи суміщає вона нуль лінійки з краєм предмета, і запитайте чому. У задачах на частини відрізка запропонуйте спершу намалювати відрізок і позначити відомі довжини. За малюнком легше побачити, що треба додати, а що відняти.

Повідомити про помилку