Ти навчишся знаходити власну швидкість човна і швидкість течії за відомими швидкостями, відстанню та часом. Ти розв’язуватимеш задачі про пліт і човни, що пливуть назустріч.
Уже розв’язав задачі про річку й відповідь не та? Найчастіше плутають, коли швидкість течії додавати, а коли віднімати; перевір себе в розділі «Де найчастіше помиляються».
Як рухома доріжка змінює швидкість
В аеропортах і на великих вокзалах бувають рухомі доріжки — стрічки в підлозі, які везуть людей. На схемі доріжка рухається праворуч зі швидкістю 30 м/хв, а людина крокує по підлозі зі швидкістю 70 м/хв.
Якщо стояти на доріжці, вона везе тебе зі швидкістю 30 м/хв. Якщо йти вздовж неї, кроки додають 70 м, а доріжка — ще 30 м за хвилину: 70 + 30 = 100 (м/хв). Якщо йти проти руху доріжки, вона відносить назад 30 м за хвилину, тому залишається 70 − 30 = 40 (м/хв).
Річка поводиться так само, тільки замість стрічки рухається вода. Швидкість доріжки відповідає швидкості течії, а швидкість кроків — власній швидкості човна у стоячій воді, наприклад в озері. Таблиця нижче показує ці відповідники.
| Доріжка | Річка | Швидкість |
|---|---|---|
| рух доріжки | течія | швидкість течії |
| кроки на звичайній підлозі | човен в озері | власна швидкість |
| ідеш уздовж | за течією | власна + течії |
| ідеш проти | проти течії | власна − течії |
| стоїш на доріжці | пліт | швидкість течії |
Як пов’язані швидкості човна
Почни з власної швидкості: так човен плив би у стоячій воді. За течією вода додає швидкість, а проти течії — віднімає. На схемі стрілка праворуч показує рух за течією, а ліворуч — проти течії.
| власна швидкість = швидкість проти течії + швидкість течії |
| власна швидкість = швидкість за течією − швидкість течії |
| швидкість течії = (швидкість за течією − швидкість проти течії) : 2 |
Як розв’язати задачу про рух річкою?
- Випиши відомі швидкості: власну, течії, за течією чи проти течії. Якщо відомі відстань і час, спершу знайди швидкість: вона дорівнює відстані, поділеній на час ($v = s : t$).
- Намалюй схему: посередині познач власну швидкість, праворуч — стрілку за течією («+ течія»), ліворуч — проти течії («− течія»). Підпиши відомі швидкості, а біля шуканої постав знак «?».
- Щоб знайти власну швидкість, до швидкості проти течії додай швидкість течії, а від швидкості за течією її відніми. Якщо відомі обидві швидкості, від більшої відніми меншу й поділи різницю на 2, бо різниця містить дві швидкості течії.
- Перевір відповідь: додай швидкість течії до власної швидкості, а потім відніми її. Мають вийти швидкості за течією і проти течії, які дано в умові або знайдено в перших діях.
Розв’яжи задачі про рух річкою
Приклад 1. Знайди власну швидкість катера і швидкість за течією
Катер плив проти течії та подолав 45 км за 3 год. Швидкість течії становить 2 км/год. Знайди власну швидкість катера і його швидкість за течією.
Розв’язання.
- 1)45 : 3 = 15 (км/год) — швидкість катера проти течії;
- 2)15 + 2 = 17 (км/год) — власна швидкість катера;
- 3)17 + 2 = 19 (км/год) — швидкість катера за течією.
Відповідь: 17 км/год і 19 км/год.
Катер плив проти течії, тому на схемі до його швидкості 15 км/год веде стрілка ліворуч, «− 2 км/год». Щоб знайти власну швидкість, додай швидкість течії: 15 + 2 = 17 (км/год); за течією катер пливе зі швидкістю 17 + 2 = 19 (км/год).
Проти течії вода щогодини відносить катер назад на 2 км, тому у стоячій воді він плив би швидше. Отже, власну швидкість знайди додаванням 15 + 2, а не відніманням.
Приклад 2. Знайди швидкість течії та власну швидкість катера за часом руху в обидва боки
Відстань між двома пристанями становить 60 км. Катер долає її за течією за 3 год, а проти течії — за 5 год. Знайди швидкість течії та власну швидкість катера.
| $s$, км | $t$, год | $v$, км/год | |
|---|---|---|---|
| За течією | 60 | 3 | ? |
| Проти течії | 60 | 5 | ? |
Розв’язання.
- 1)60 : 3 = 20 (км/год) — швидкість катера за течією;
- 2)60 : 5 = 12 (км/год) — швидкість катера проти течії;
- 3)20 − 12 = 8 (км/год) — на стільки швидкість за течією більша, ніж проти течії;
- 4)8 : 2 = 4 (км/год) — швидкість течії;
- 5)12 + 4 = 16 (км/год) — власна швидкість катера.
Відповідь: 4 км/год і 16 км/год.
Від власної швидкості до 20 км/год швидкість течії додали, а до 12 км/год — відняли. Тому різниця 20 − 12 = 8 (км/год) дорівнює двом швидкостям течії, і її треба поділити на 2.
Перевірка: 16 + 4 = 20 (км/год) — швидкість за течією, а 16 − 4 = 12 (км/год) — проти течії. Обидва результати збігаються зі швидкостями, знайденими в діях 1 і 2.
Приклад 3. Знайди власну швидкість катера за часом руху плота тим самим шляхом
Річка тече від пристані A до пристані B, а відстань між ними становить 36 км. Пліт пропливає від A до B за 12 год, а катер — за 2 год. Знайди власну швидкість катера.
Розв’язання.
- 1)36 : 12 = 3 (км/год) — швидкість плота, тобто швидкість течії;
- 2)36 : 2 = 18 (км/год) — швидкість катера за течією;
- 3)18 − 3 = 15 (км/год) — власна швидкість катера.
Відповідь: 15 км/год.
Пліт не має мотора чи весел, тому вода несе його сама. Отже, власна швидкість плота дорівнює нулю, а його швидкість дорівнює швидкості течії.
Приклад 4. Знайди, коли зустрінуться човни, що пливуть назустріч
Річка тече від пристані A до пристані B, а відстань між ними становить 72 км; швидкість течії дорівнює 2 км/год. Від A за течією вирушив човен із власною швидкістю 14 км/год. Одночасно від B йому назустріч вирушив човен із власною швидкістю 10 км/год. Через скільки годин човни зустрінуться?
Швидкість зближення $v_{\text{збл}}$ показує, на скільки кілометрів щогодини зменшується відстань між човнами. Коли човни пливуть назустріч, кожен за годину проходить частину шляху, тому їхні швидкості треба додати.
Розв’язання.
- 1)14 + 2 = 16 (км/год) — швидкість першого човна за течією;
- 2)10 − 2 = 8 (км/год) — швидкість другого човна проти течії;
- 3)$v_{\text{збл}}$ = 16 + 8 = 24 (км/год) — швидкість зближення;
- 4)72 : 24 = 3 (год) — через стільки годин човни зустрінуться.
Відповідь: через 3 год.
Швидкість зближення човнів дорівнює 24 км/год, тобто сумі їхніх власних швидкостей: 14 + 10 = 24. Течія додала першому човну 2 км/год і стільки само відняла від швидкості другого.
Коли два човни пливуть однією річкою назустріч, швидкість зближення дорівнює сумі їхніх власних швидкостей. Течія одному човну додає швидкість, а другому стільки само віднімає. Тому в сумі течія нічого не змінює.
Як перевірити себе
- Швидкість за течією найбільша, а проти течії — найменша, бо вода допомагає в першому випадку й заважає в другому. Власна швидкість лежить між ними, тому інше розташування чисел указує на помилку в знаку дії.
- Швидкість за течією більша за власну на швидкість течії, а власна більша за швидкість проти течії на стільки само. Течія однаково додає швидкість в один бік і віднімає її в інший.
- Якщо човен долає той самий шлях за менший час, він пливе за течією. Отже, річка тече в бік, куди човен плив швидше.
Де найчастіше помиляються
Відняли швидкість течії від швидкості проти течії
Завдання: швидкість човна проти течії — 14 км/год, а швидкість течії — 3 км/год. Знайди власну швидкість човна.
Неправильно
| 14 − 3 = 11 (км/год) |
Правильно
| 14 + 3 = 17 (км/год) |
Тоді виходить, що у стоячій воді човен пливе 11 км/год, а проти течії — 14 км/год. Так не буває: течія заважає човну, тому його власна швидкість більша за швидкість проти течії.
Прийняли різницю швидкостей за швидкість течії
Завдання: швидкість катера за течією — 22 км/год, а проти течії — 16 км/год. Знайди швидкість течії.
Неправильно
| 22 − 16 = 6 (км/год) |
Правильно
| (22 − 16) : 2 = 6 : 2 = 3 (км/год) |
Якщо швидкість течії становить 6 км/год, власна швидкість дорівнює 16 + 6 = 22 (км/год). Тоді катер мав би плисти за течією зі швидкістю 22 + 6 = 28 (км/год), а не 22 км/год, як зазначено в умові. Різниця швидкостей за течією і проти течії охоплює дві швидкості течії: від швидкості проти течії до власної та від власної до швидкості за течією.
Урахували течію лише для одного човна
Завдання: два моторні човни пливуть річкою назустріч, швидкість течії — 3 км/год. Перший пливе за течією з власною швидкістю 12 км/год, а другий пливе проти течії з власною швидкістю 9 км/год. Знайди швидкість зближення човнів.
Неправильно
| (12 + 3) + 9 = 15 + 9 = 24 (км/год) |
Правильно
| (12 + 3) + (9 − 3) = 15 + 6 = 21 (км/год) |
Другий човен теж пливе річкою, а проти течії його швидкість дорівнює 9 − 3 = 6 (км/год). Правильна швидкість зближення 15 + 6 = 21 (км/год) дорівнює сумі власних швидкостей: 12 + 9 = 21 (км/год).
Спробуй сам
- Швидкість катера за течією становить 25 км/год, а швидкість течії — 3 км/год. Знайди власну швидкість катера і його швидкість проти течії.
- Швидкість човна за течією становить 17 км/год, а проти течії — 11 км/год. Знайди швидкість течії та власну швидкість човна.
- Відстань між пристанями становить 120 км. Теплохід долає цей шлях за течією за 5 год, а проти течії — за 6 год. Знайди швидкість течії та власну швидкість теплохода.
- Річка тече від пристані A до пристані B, а відстань між ними становить 48 км. Пліт пропливає від A до B за 12 год. За скільки часу катер із власною швидкістю 20 км/год допливе від A до B і повернеться назад?
- Річка тече від пристані A до пристані B, а відстань між ними становить 90 км; швидкість течії дорівнює 2 км/год. Одночасно від A за течією вирушив човен із власною швидкістю 16 км/год, а від B проти течії вирушив другий човен із власною швидкістю 14 км/год. Через скільки годин човни зустрінуться?
- Рухома доріжка завдовжки 200 м рухається зі швидкістю 40 м/хв, а людина крокує зі швидкістю 60 м/хв. За скільки хвилин людина подолає доріжку, якщо стоятиме на ній, і за скільки — якщо йтиме вздовж неї?
- Від пристані A до пристані B катер плив 4 год, а назад — 3 год; мотор працював однаково. У який бік тече річка?
Перевірити відповіді
- 22 км/год і 19 км/год.
- 3 км/год і 14 км/год.
- 2 км/год і 22 км/год.
- 5 год.
- Через 3 год.
- За 5 хв, якщо стояти; за 2 хв, якщо йти.
- Від пристані B до пристані A.
Повне розв’язання завдання 3
- 1)120 : 5 = 24 (км/год) — швидкість теплохода за течією;
- 2)120 : 6 = 20 (км/год) — швидкість теплохода проти течії;
- 3)24 − 20 = 4 (км/год) — на стільки швидкість за течією більша, ніж проти течії;
- 4)4 : 2 = 2 (км/год) — швидкість течії;
- 5)20 + 2 = 22 (км/год) — власна швидкість теплохода.
Перевірка: 22 + 2 = 24 (км/год) і 22 − 2 = 20 (км/год).
Повне розв’язання завдання 4
- 1)48 : 12 = 4 (км/год) — швидкість течії, бо пліт пливе зі швидкістю течії;
- 2)20 + 4 = 24 (км/год) — швидкість катера за течією;
- 3)48 : 24 = 2 (год) — час від A до B;
- 4)20 − 4 = 16 (км/год) — швидкість катера проти течії;
- 5)48 : 16 = 3 (год) — час від B до A;
- 6)2 + 3 = 5 (год) — час на весь шлях.
Якщо твоя відповідь не збіглася з відповіддю в «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Якщо в торговому центрі чи на вокзалі є ескалатор або рухома доріжка, покажіть дитині, як людина, що йде вздовж неї, рухається швидше за людину, яка стоїть. Запитайте, яка швидкість є власною, а яка відповідає течії, щоб дитина побачила, чому швидкості додаються.
Попросіть дитину намалювати річку, що тече праворуч, і позначити власну швидкість човна. Нехай дитина проведе від цієї позначки стрілки праворуч і ліворуч та пояснить, де течія додає швидкість, а де віднімає.