Остачу в задачах про автобуси, покупки чи місця не завжди записують у відповідь. Ти навчишся визначати, коли її відкинути, коли через неї взяти ще один автобус, а коли записати саму остачу.
Розв’язав задачу з остачею, але сумніваєшся у відповіді? Перевір себе й переходь до розділу «Де найчастіше помиляються».
Школярі помилилися в задачі про автобуси
На початку 1980-х років у США провели загальнонаціональну перевірку знань з математики. Її результати опублікували 1983 року, а тринадцятирічним школярам дали таку задачу.
В армійський автобус уміщується 36 солдатів. На навчання треба перевезти 1128 солдатів. Скільки автобусів потрібно?
Щоб відповісти на запитання, поділимо 1128 на 36 куточком.
| − | 1 | 1 | 2 | 8 | 3 | 6 |
| 1 | 0 | 8 | 3 | 1 | ||
| − | 4 | 8 | ||||
| 3 | 6 | |||||
| 1 | 2 |
1128 : 36 = 31 (ост. 12).
Семеро з десяти школярів правильно поділили числа. Майже троє з десяти записали у відповідь «31 (ост. 12)». Ще частина школярів написала просто 31 автобус. А правильну відповідь, 32 автобуси, дав менше ніж кожен четвертий.
Джерело: T. P. Carpenter та ін., «Results of the Third NAEP Mathematics Assessment: Secondary School», журнал The Mathematics Teacher, 1983, т. 76, с. 652–659.
У 31 автобусі поїдуть 36 · 31 = 1116 солдатів. Ще 12 солдатів залишаються, і для них потрібен ще один автобус:
31 + 1 = 32. Відповідь «31 (ост. 12)» не годиться, бо автобуси замовляють лише цілими.
Ділення тут нескладне, але школярі не подумали, про що запитує задача. Розберімо, що робити з остачею в різних задачах.
Запитання визначає відповідь
Школа їде на екскурсію, і разом їдуть 158 осіб: учні й учителі. В одному автобусі є 45 місць.
У записі 158 : 45 = 3 (ост. 23) число 45 — дільник, а 3 — неповна частка: стільки разів по 45 уміщується в 158. Число 23 — остача, тобто те, що залишилося; остача завжди менша від дільника. Як ділити з остачею куточком, покроково показано в статті «Ділення з остачею».
Перші чотири задачі починаються з дії 158 : 45, тож виконай ділення куточком один раз.
| − | 1 | 5 | 8 | 4 | 5 |
| 1 | 3 | 5 | 3 | ||
| 2 | 3 |
158 : 45 = 3 (ост. 23). Перевірка:
45 · 3 + 23 = 135 + 23 = 158.
На схемі три автобуси заповнені повністю: у кожному їдуть по 45 осіб. Неповна частка 3 показує кількість цих автобусів. Остача 23 показує кількість людей, які поїдуть у четвертому автобусі; частина його місць залишиться вільною. Скільки саме місць буде вільно, порахуємо в прикладі 3.
Приклад 1. Дізнайся, скільки автобусів замовити
На екскурсію їдуть 158 осіб, а в кожному автобусі є 45 місць. Скільки автобусів треба замовити, щоб поїхали всі?
Розв’язання.
- 1)158 : 45 = 3 (ост. 23).
- 2)3 + 1 = 4 (автобуси).
Три автобуси вмістять лише 45 · 3 = 135 осіб, тому 23 особам потрібен ще один автобус.
Відповідь: 4 автобуси.
Приклад 2. Дізнайся, скільки людей поїде в останньому автобусі
158 осіб їдуть у чотирьох автобусах по 45 місць, перші три заповнено повністю. Скільки осіб поїде в четвертому автобусі?
Розв’язання.
158 : 45 = 3 (ост. 23).
Неповна частка 3 показує, що три автобуси заповнено повністю. Остача 23 показує, скільки людей поїде в четвертому автобусі.
Відповідь: 23 особи.
Приклад 3. Дізнайся, скільки місць залишиться вільними
158 осіб їдуть у чотирьох автобусах по 45 місць, перші три заповнено повністю. Скільки місць у четвертому автобусі залишаться вільними?
Розв’язання.
- 1)158 : 45 = 3 (ост. 23).
- 2)45 − 23 = 22 (місця).
У четвертому автобусі є 45 місць, а займуть лише 23, тому від 45 місць віднімаємо остачу 23. Перевіримо іншим способом:
45 · 4 = 180
180 − 158 = 22.
Відповідь: 22 місця.
Приклад 4. Дізнайся, скільки магнітів можна купити
На екскурсії Ліза захотіла купити магніти на холодильник: у неї є 158 грн, а один магніт коштує 45 грн. Скільки магнітів вона може купити?
Розв’язання.
158 : 45 = 3 (ост. 23).
Три магніти коштують 45 · 3 = 135 грн, тож у Лізи залишиться 23 грн. На четвертий магніт потрібно 45 грн, тому остачу відкидаємо й одиницю не додаємо.
Дія та сама, що й у задачі про автобуси: 158 : 45, але відповідь інша. Автобусів має вистачити всім людям, а магнітів можна купити лише на наявні гроші.
Відповідь: 3 магніти.
Приклад 5. Розсади 158 осіб якомога рівніше в 4 автобуси
Школа замовила чотири автобуси по 45 місць для 158 осіб. Скільки осіб поїде в кожному автобусі, якщо розсадити їх якомога рівніше?
Розв’язання.
Тепер поділимо кількість людей на кількість автобусів: 158 на 4.
| − | 1 | 5 | 8 | 4 | |
| 1 | 2 | 3 | 9 | ||
| − | 3 | 8 | |||
| 3 | 6 | ||||
| 2 |
- 1)158 : 4 = 39 (ост. 2).
- 2)39 + 1 = 40 (осіб).
Спершу посадимо по 39 осіб у кожен автобус; це неповна частка. Двоє людей залишаються, тож у двох автобусах поїде по 40 осіб, а в інших — по 39.
Перевірка:
40 · 2 + 39 · 2 = 80 + 78 = 158.
Відповідь: у двох автобусах по 40 осіб, у двох — по 39 осіб.
Подумай, про що запитує задача
Після ділення з остачею прочитай запитання задачі ще раз. Саме воно підказує, що записати у відповідь з неповної частки й остачі.
| Про що питають | Що беремо | Приклад |
|---|---|---|
| Скільки треба, щоб вистачило всім? | неповну частку + 1 | 4 автобуси |
| Скільки можна купити? Скільки вийде повних коробок? | неповну частку | 3 магніти |
| Скільки людей поїде в неповному автобусі? Скільки грошей залишиться? | остачу | 23 особи |
| Скільки місць залишиться вільними в неповному автобусі? | дільник − остача | 22 місця |
| Як розсадити якомога рівніше? | неповну частку; у стількох автобусах, скільки становить остача, — на 1 більше | 40, 40, 39, 39 |
Коли питають, скільки автобусів потрібно, додавай одиницю лише тоді, коли остача не дорівнює нулю: тоді частина людей не вмістилася. Якщо остачі немає, зайвий автобус не потрібен: наприклад, 180 осіб їдуть автобусами по 45 місць, і достатньо чотирьох автобусів:
180 : 45 = 4.
Як перевірити себе
- Якщо питали, скільки автобусів потрібно, помнож відповідь на кількість місць в одному автобусі. Місць має вийти не менше, ніж людей, інакше хтось залишиться без місця. А якщо відняти один автобус, місць має забракнути — інакше цей автобус зайвий.
- Якщо запитують, скільки можна купити, помнож відповідь на ціну: добуток не має перевищувати наявні гроші. Інакше грошей на всю покупку не вистачить.
- Перевір, чи відповідь має сенс: кількість автобусів, людей або магнітів буває лише цілою. Якщо у відповіді залишилася позначка «(ост. …)», задачу ще не розв’язано до кінця.
Де найчастіше помиляються
Помилка 1. У відповіді залишили остачу
Завдання: в автобус уміщується 36 осіб. Скільки автобусів потрібно для 1128 осіб?
Неправильно
| 1128 : 36 = 31 (ост. 12) |
| Відповідь: 31 (ост. 12) автобус |
Правильно
| 1128 : 36 = 31 (ост. 12) |
| 31 + 1 = 32 (автобуси) |
| Відповідь: 32 автобуси |
Як помітити: якщо у відповіді на запитання про кількість автобусів залишилася остача, задачу не завершено. Остача означає, що частина людей не вмістилася, тому їм потрібен ще автобус.
Помилка 2. Додали автобус, хоча остачі немає
Завдання: в автобус уміщується 45 осіб. Скільки автобусів потрібно для 180 осіб?
Неправильно
| 180 : 45 = 4 |
| 4 + 1 = 5 (автобусів) |
Правильно
| 180 : 45 = 4 |
| Відповідь: 4 автобуси |
Як помітити: перевір, чи є остача.
180 : 45 = 4 без остачі, тож у чотирьох автобусах якраз 180 місць, а п’ятий автобус поїхав би порожнім.
Помилка 3. Купили зайвий магніт
Завдання: магніт коштує 45 грн. Скільки магнітів можна купити за 158 грн?
Неправильно
| 158 : 45 = 3 (ост. 23) |
| 3 + 1 = 4 (магніти) |
Правильно
| 158 : 45 = 3 (ост. 23) |
| Відповідь: 3 магніти |
Як помітити: помнож відповідь на ціну.
45 · 4 = 180 грн — це більше за 158 грн, тому грошей на четвертий магніт не вистачить.
Спробуй сам
У кожній задачі спочатку поділи з остачею, а потім подумай, про що запитують.
- На екскурсію їдуть 200 осіб, а в одному автобусі є 45 місць. Скільки автобусів треба замовити, щоб поїхали всі?
- На екскурсію їдуть 200 осіб автобусами по 45 місць, причому перші автобуси заповнюють повністю. Скільки осіб поїде в останньому автобусі?
- На екскурсію їдуть 200 осіб автобусами по 45 місць, причому перші автобуси заповнюють повністю. Скільки місць в останньому автобусі залишаться вільними?
- Квиток до музею коштує 60 грн, а в Марка є 200 грн. Скільки квитків він може купити?
- На екскурсію їдуть 270 осіб, а в одному автобусі є 45 місць. Скільки автобусів треба замовити?
- На першому поверсі чекають 30 осіб, а ліфт уміщує 8 осіб. Скільки разів він має підняти людей нагору, щоб усі опинилися на верхньому поверсі?
- 130 учнів розсаджують якомога рівніше в три автобуси. Скільки учнів поїде в кожному автобусі?
Перевірити відповіді
- 5 автобусів.
- 20 осіб.
- 25 місць.
- 3 квитки.
- 6 автобусів.
- 4 рази.
- В одному автобусі 44 учні, у двох — по 43.
Повне розв’язання задачі 5
270 : 45 = 6.
270 ділиться на 45 без остачі, отже, у шести автобусах якраз вистачає місць усім. Тому одиницю не додаємо.
Відповідь: 6 автобусів.
Повне розв’язання задачі 7
- 1)130 : 3 = 43 (ост. 1).
- 2)43 + 1 = 44 (учні).
Спершу посадимо по 43 учні в кожен автобус; один учень залишається. Тому в одному автобусі поїдуть 44 учні, а у двох інших — по 43.
Перевірка:
44 + 43 · 2 = 44 + 86 = 130.
Відповідь: в одному автобусі 44 учні, у двох — по 43.
Якщо твоя відповідь відрізняється від відповіді в розділі «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».
Для батьків
Коли плануєте покупки чи поїздку, запропонуйте дитині задачу з життя: скільки упаковок соку по 6 пакетиків треба купити, щоб кожному гостю дістався пакетик? Попросіть дитину пояснити, що означає остача й чому потрібна ще одна упаковка.
Після ділення з остачею запитайте дитину: «А про що питає задача?» Від запитання залежить, чи треба відкинути остачу, додати одиницю або записати остачу у відповідь.