Повідомити про помилку
* - Обов'язкові поля
Відправити

Ділення з остачею: неповна частка, остача і перевірка a = b · q + r

Ти навчишся ділити з остачею усно й куточком, знаходити ділене, дільник і остачу. А ще — перевіряти відповідь рівністю a = b · q + r і розв’язувати задачі, де щось залишається.

Уже поділив, а остача вийшла більшою за дільник або перевірка не зійшлася? Загляни в розділ «Де найчастіше помиляються».

Коротко про ділення з остачею

Є 23 печива. Їх розкладають у коробки по 4 штуки. Скільки коробок заповнять?

●●●●
●●●●
●●●●
●●●●
●●●●
●●●

Кожен синій ряд — повна коробка. Помаранчеві печива залишилися.

Повних коробок 5, у них 4 · 5 = 20 печив. Ще 23 − 20 = 3 печива залишилося. Шосту коробку ними не заповнити.

Записують так: 23 : 4 = 5 (ост. 3). Читають: «23 поділити на 4 — буде 5, в остачі 3».

  • 23 — ділене, 4 — дільник.
  • 5 — неповна частка. Вона «неповна», бо 4 · 5 = 20, а це менше за 23.
  • 3 — остача: те, що залишилося після поділу.

Чотири печива заповнили б ще одну коробку. Тому остача завжди менша від дільника: тут 3 менше за 4.

Усі печива — це 5 коробок по 4 і ще 3. Звідси рівність 23 = 4 · 5 + 3.

Щоб знайти ділене, помнож неповну частку на дільник і до добутку додай остачу:

$a = b \cdot q + r$, де $r \lt b$

Тут $a$ — ділене, $b$ — дільник, $q$ — неповна частка, $r$ — остача.

Якщо остача дорівнює 0, кажуть, що число ділиться націло: 24 : 4 = 6. Так ми ділили в § 9.

Як записати ділення з остачею куточком

Куточок той самий, що й для ділення без остачі в статті «Ділення натуральних чисел». Різниця одна: внизу залишається число, більше за 0. Це остача.

−234
205
3

23 : 4 = 5 (ост. 3). Остачу 3 пишемо під рискою, під одиницями.

Ділити починаємо з першого неповного діленого. Це найменше число з перших цифр діленого, яке не менше за дільник. У 23 : 4 цифра 2 менша за 4, тому беремо 23.

Прикидка допомагає вгадати цифру частки. У неповному діленому і в дільнику відкидаємо стільки останніх цифр, щоб від дільника лишилася одна цифра. Ділимо те, що лишилося.

Запис 25 : 3 → 8 означає «пробуємо цифру 8». Якщо вийшло 10 або більше, пробуємо 9. Кожну цифру перевіряємо множенням.

Розв’язані приклади: усно

Приклад 1. Виконай ділення з остачею усно

Шукаємо в таблиці множення на дільник найбільший добуток, який не більший за ділене. Різниця між ними — остача.

1)17 : 3. 3 · 5 = 15, а 3 · 6 = 18 — забагато. 17 − 15 = 2. Отже, 17 : 3 = 5 (ост. 2)
2)29 : 8. 8 · 3 = 24, а 8 · 4 = 32 — забагато. 29 − 24 = 5. Отже, 29 : 8 = 3 (ост. 5)
3)44 : 9. 9 · 4 = 36, а 9 · 5 = 45 — забагато. 44 − 36 = 8. Отже, 44 : 9 = 4 (ост. 8)

Остача 8 велика, але вона менша за дільник 9. Отже, неповну частку вибрано правильно.

Приклад 2. Які остачі можна отримати при діленні на 4? На 6? На 10?

Поділимо на 4 кілька чисел поспіль і подивимося на остачі.

20 : 4 = 5 (ост. 0)
21 : 4 = 5 (ост. 1)
22 : 4 = 5 (ост. 2)
23 : 4 = 5 (ост. 3)
24 : 4 = 6 (ост. 0)
25 : 4 = 6 (ост. 1)

Остачі йдуть по колу: 0, 1, 2, 3, і знову 0. Остачі 4 не буває ніколи: чотири «зайві» печива — це ще одна коробка.

ДільникМожливі остачі
40, 1, 2, 3
60, 1, 2, 3, 4, 5
100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Найбільша остача на 1 менша від дільника. Різних остач стільки, скільки одиниць у дільнику: при діленні на 6 їх шість.

Розв’язані приклади: ділення куточком

Приклад 3. 2539 : 34 — двоцифровий дільник і перевірка

−253934
23874
−159
136
23
  1. 1)2 і 25 менші за 34, тому перше неповне ділене — 253. Після нього одна цифра, отже, у неповній частці дві цифри.
  2. 2)Прикидка: відкидаємо в 253 і 34 останню цифру — залишаються 25 і 3, 25 : 3 → 8. Але 34 · 8 = 272 більше за 253. Беремо 7: 34 · 7 = 238, 253 − 238 = 15.
  3. 3)Зносимо 9: маємо 159. Прикидка: 15 : 3 → 5, але 34 · 5 = 170 — забагато. Беремо 4: 34 · 4 = 136, 159 − 136 = 23.
  4. 4)Цифр для знесення більше немає. Число 23 менше за 34 — це остача.

Перевірка. Множимо неповну частку на дільник:

×74
34
+296
222
2516

Додаємо остачу: 2516 + 23 = 2539. Вийшло ділене, отже, поділено правильно: 2539 = 34 · 74 + 23.

Відповідь: 2539 : 34 = 74 (ост. 23).

Порядок дій

  1. Ділимо куточком, як без остачі: перше неповне ділене, цифра частки, множення, віднімання, знесення.
  2. Після кожного віднімання число має бути меншим за дільник.
  3. Коли цифр для знесення не залишилося, число внизу — остача. Частка — неповна частка.
  4. Перевіряємо: дільник · неповна частка + остача = ділене.

Приклад 4. 6127 : 15 — нуль у неповній частці

−612715
60408
−127
120
7
  1. 1)6 менше за 15, тому перше неповне ділене — 61. Після нього дві цифри, отже, у частці три цифри.
  2. 2)15 · 4 = 60, а 15 · 5 = 75 — забагато. Пишемо в частку 4. 61 − 60 = 1.
  3. 3)Зносимо 2: маємо 12. Це менше за 15, тому пишемо в частку 0. Число 12 окремо не записуємо: одразу зносимо 7 і пишемо 127.
  4. 4)Маємо 127. 15 · 8 = 120, а 15 · 9 = 135 — забагато. 127 − 120 = 7.

Перевірка: 15 · 408 = 6120, 6120 + 7 = 6127.

Відповідь: 6127 : 15 = 408 (ост. 7).

Приклад 5. 1935 : 32 — нуль у кінці неповної частки

−193532
19260
15
  1. 1)1 і 19 менші за 32, тому перше неповне ділене — 193. Після нього одна цифра, отже, у частці дві цифри.
  2. 2)Прикидка: 19 : 3 → 6. 32 · 6 = 192, 193 − 192 = 1.
  3. 3)Зносимо 5: маємо 15. Це менше за 32, тому пишемо в частку 0.
  4. 4)Цифр для знесення більше немає. Отже, 15 — остача.

Перевірка: 32 · 60 = 1920, 1920 + 15 = 1935.

Відповідь: 1935 : 32 = 60 (ост. 15).

Розв’язані приклади: ділене, дільник, остача

Приклад 6. Знайди ділене

Дільник 18, неповна частка 23, остача 11. Знайди ділене.

  1. 1)Помножимо дільник на неповну частку: 18 · 23 = 414.
  2. 2)Додамо остачу: 414 + 11 = 425.

Остача 11 менша за дільник 18, тож такі числа можливі. Запис: 425 = 18 · 23 + 11.

Відповідь: 425.

Приклад 7. Знайди дільник

Ділене 250, неповна частка 6, остача 16. Знайди дільник.

  1. 1)За рівністю $a = b \cdot q + r$: 250 = дільник · 6 + 16.
  2. 2)Без остачі залишається 250 − 16 = 234. Отже, дільник · 6 = 234.
  3. 3)Дільник: 234 : 6 = 39.

Перевірка: 39 · 6 + 16 = 234 + 16 = 250. Остача 16 менша за 39 — усе правильно.

Відповідь: 39.

Приклад 8. Заповни таблицю

У кожному стовпчику невідоме одне або два числа. Шукаємо їх, як у прикладах 1, 6 і 7.

Ділене214425250
Дільник91839
Неповна частка23236
Остача71116
  1. 1)Перший стовпчик: ділимо 214 на 9. 9 · 23 = 207, а 9 · 24 = 216 — забагато. 214 − 207 = 7. Отже, 214 : 9 = 23 (ост. 7).
  2. 2)Другий стовпчик — приклад 6: 18 · 23 + 11 = 425.
  3. 3)Третій стовпчик — приклад 7: (250 − 16) : 6 = 39.

Знайдені числа виділено зеленим.

Приклад 9. Знайди неповну частку й остачу з готової рівності

Рівність 500 = 23 · 21 + 17 правильна. Яку неповну частку й остачу отримаємо, якщо поділимо 500 на 23? А 500 на 21?

1)Ділимо на 23: 17 < 23, тож 500 : 23 = 21 (ост. 17)
2)Ділимо на 21: 17 < 21, тож 500 : 21 = 23 (ост. 17)

Спершу порівнюй останній доданок із дільником. Візьмемо рівність 71 = 12 · 5 + 11.

При діленні на 12 усе гаразд: 71 : 12 = 5 (ост. 11).

А при діленні на 5 число 11 не може бути остачею: воно більше за 5. Тоді ділимо звичайно: 5 · 14 = 70, тож 71 : 5 = 14 (ост. 1).

Приклад 10. Запиши ділене через дільник, неповну частку й остачу

Подай у вигляді $a = bq + r$: 1) 61 : 7; 2) 158 : 12.

1)61 : 7 = 8 (ост. 5), тому 61 = 7 · 8 + 5
2)12 · 13 = 156, 158 : 12 = 13 (ост. 2), тому 158 = 12 · 13 + 2

Запис $bq$ означає $b \cdot q$: між буквами знак множення можна не писати.

Приклад 11. Придумай число, яке при діленні на 6 дає остачу 5

  1. 1)Беремо будь-яку неповну частку, наприклад 3.
  2. 2)За рівністю $a = b \cdot q + r$: 6 · 3 + 5 = 23.

Перевірка: 23 : 6 = 3 (ост. 5). Неповні частки 1, 2, 4 і 5 дадуть інші числа: 11, 17, 29, 35.

Відповідь: наприклад, 23.

Приклад 12. На яке число ділили? Усі можливості

100 поділили на деяке число й отримали остачу 16. На яке число ділили? Знайди всі можливості.

  1. 1)Віднімемо остачу: 100 − 16 = 84. Число 84 ділиться на дільник націло: дільник · неповна частка = 84.
  2. 2)Остача менша від дільника. Отже, дільник більший за 16.
  3. 3)Перебираємо неповну частку: 84 : 1 = 84, 84 : 2 = 42, 84 : 3 = 28, 84 : 4 = 21. Усі ці числа більші за 16.
  4. 4)84 на 5 націло не ділиться. А 84 : 6 = 14 — це вже менше за 16. Чим більша неповна частка, тим менший дільник. Тому щойно він став меншим за остачу, перебір закінчено.

Перевірка:

100 : 21 = 4 (ост. 16)100 : 28 = 3 (ост. 16)
100 : 42 = 2 (ост. 16)100 : 84 = 1 (ост. 16)

Відповідь: 21, 28, 42 або 84.

Ділення з остачею в задачах

У задачі остачу треба прочитати: що вона означає і що з нею робити.

Скільки вийде і скільки залишиться

У рулоні 100 м стрічки. На один подарунок треба 7 м.

На скільки подарунків вистачить стрічки? Скільки її залишиться?

−1007
714
−30
28
2

100 : 7 = 14 (ост. 2). Неповна частка — це кількість подарунків, а остача — метри стрічки, що залишилися.

Відповідь: на 14 подарунків, залишиться 2 м.

Скільки можна купити

Квиток у кіно коштує 140 грн. Скільки квитків можна купити на 1000 грн?

  1. 1)140 · 7 = 980, а 140 · 8 = 1120 — це більше за 1000.
  2. 2)1000 : 140 = 7 (ост. 20). На 20 грн ще один квиток не купиш.

Відповідь: 7 квитків.

Скільки потрібно, щоб вистачило всім

У похід ідуть 50 учнів. У намет уміщується 6 осіб. Скільки наметів потрібно?

  1. 1)50 : 6 = 8 (ост. 2). У 8 наметах поміститься 6 · 8 = 48 учнів.
  2. 2)Ще 2 учням потрібен окремий намет: 8 + 1 = 9.

Відповідь: 9 наметів.

Спершу знайди, що ділити

В Олі було 500 грн. Вона купила 2 альбоми по 34 грн, а на решту — якнайбільше наборів фломастерів по 45 грн.

Скільки наборів вона купила? Скільки грошей залишилося?

  1. 1)Альбоми: 2 · 34 = 68 грн.
  2. 2)Решта: 500 − 68 = 432 грн.
  3. 3)432 : 45 = 9 (ост. 27), бо 45 · 9 = 405, а 432 − 405 = 27.

Відповідь: 9 наборів, залишилося 27 грн.

Як перевірити себе

  1. Порівняй остачу з дільником. Вона має бути меншою: у 2539 : 34 остача 23 менша за 34.
  2. Віднови ділене. Дільник · неповна частка + остача = ділене: 15 · 408 + 7 = 6127.
  3. Порахуй цифри частки заздалегідь. У 6127 : 15 перше неповне ділене 61, після нього дві цифри. Отже, у частці три цифри: 408.
  4. У задачі подумай, що означає остача. Її можна відкинути, записати окремо або додати ще одну коробку чи намет.

Де найчастіше помиляються

1. Остача не менша за дільник

Неправильно

−457
355
10

Правильно

−457
426
3

Що сталося: взяли цифру 5, бо 7 · 5 = 35. Але в остачі 10 сімка міститься ще раз.

Як помітити: остача 10 більша за дільник 7. Збільш неповну частку на 1: 45 : 7 = 6 (ост. 3).

2. Загубили нулі в кінці частки

Неправильно

−12046
122
4

Правильно

−12046
12200
4

Що сталося: після 12 знесли 0 і 4. Обидва числа менші за 6, але нулі в частку не записали.

Як помітити: перше неповне ділене 12, після нього дві цифри — у частці три цифри. Перевірка теж підкаже: 6 · 2 + 4 = 16. Це набагато менше за 1204.

3. Перевірили без остачі

Неправильно

34 · 74 = 2516 ≠ 2539
«Поділено неправильно»

Правильно

34 · 74 + 23 = 2539
Поділено правильно

Що сталося: перевіряли 2539 : 34 = 74 (ост. 23), як ділення націло, і забули остачу.

Як помітити: якщо в записі є «ост.», до добутку обов’язково додаємо остачу.

4. У задачі забули про остачу

Неправильно

50 : 6 = 8 (ост. 2)
Відповідь: 8 наметів

Правильно

50 : 6 = 8 (ост. 2)
8 + 1 = 9 наметів

Що сталося: у 8 наметах лише 48 місць. Двоє учнів залишилися без намету.

Як помітити: перевір відповідь за умовою. Якщо треба вмістити всіх, остача означає ще один намет, коробку чи машину.

Спробуй сам

  1. Виконай ділення з остачею усно: 26 : 3; 39 : 5; 52 : 9.
  2. Які остачі можна отримати при діленні на 7? Яка з них найбільша?
  3. Поділи з остачею і перевір: 3187 : 26.
  4. Поділи з остачею і перевір: 5431 : 18.
  5. Поділи з остачею: 2403 : 8.
  6. Дільник 24, неповна частка 15, остача 19. Знайди ділене.
  7. Ділене 200, неповна частка 8, остача 16. Знайди дільник.
  8. Рівність 400 = 31 · 12 + 28 правильна. Яку неповну частку й остачу отримаємо, якщо поділимо 400 на 31? А 400 на 12?
  9. Подай у вигляді $a = bq + r$: 83 : 9.
  10. Придумай число, яке при діленні на 8 дає остачу 3.
  11. 60 поділили на деяке число й отримали остачу 12. На яке число ділили? Знайди всі можливості.
  12. У коробку вміщується 12 олівців. Скільки коробок потрібно для 150 олівців?
  13. Книжка коштує 125 грн. Скільки таких книжок можна купити на 900 грн? Скільки грошей залишиться?
  14. Привезли 9 пачок по 12 зошитів. Усі зошити роздали учням, кожному по 5. Скільки учнів отримали зошити? Скільки зошитів залишилося?
Перевірити відповіді
  1. 8 (ост. 2); 7 (ост. 4); 5 (ост. 7).
  2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; найбільша — 6.
  3. 122 (ост. 15). Перевірка: 26 · 122 + 15 = 3187.
  4. 301 (ост. 13). Перевірка: 18 · 301 + 13 = 5431.
  5. 300 (ост. 3).
  6. 379.
  7. 23.
  8. 400 : 31 = 12 (ост. 28). На 12 так не можна: 28 більше за 12. Ділимо звичайно: 400 : 12 = 33 (ост. 4).
  9. 83 = 9 · 9 + 2.
  10. Наприклад, 11, 19 або 27.
  11. 16, 24 або 48.
  12. 13 коробок.
  13. 7 книжок, залишиться 25 грн.
  14. 21 учень, залишилося 3 зошити.

Повне розв’язання завдання 4

−543118
54301
−31
18
13
  1. 1)5 менше за 18, тому перше неповне ділене — 54. Після нього дві цифри, отже, у частці три цифри.
  2. 2)18 · 3 = 54, тож 54 : 18 = 3, остача 0.
  3. 3)Зносимо 3. 3 менше за 18 — пишемо в частку 0. Окремо 3 не записуємо: одразу зносимо 1.
  4. 4)Маємо 31. 18 · 1 = 18, 31 − 18 = 13. Остача 13 менша за 18.

Перевірка: 18 · 301 = 5418, 5418 + 13 = 5431.

Повне розв’язання завдання 11

  1. 1)60 − 12 = 48. Отже, дільник · неповна частка = 48.
  2. 2)Остача 12 менша від дільника, тому дільник більший за 12.
  3. 3)48 : 1 = 48, 48 : 2 = 24, 48 : 3 = 16 — підходять. 48 : 4 = 12 — не підходить: дільник має бути більшим за 12.

Перевірка: 60 : 16 = 3 (ост. 12), 60 : 24 = 2 (ост. 12), 60 : 48 = 1 (ост. 12).

Якщо твоя відповідь не збіглася з відповіддю в «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».

Для батьків

Дайте дитині 25 ґудзиків і попросіть розкласти їх на купки по 4 штуки. Запитайте, скільки вийшло купок і чому з рештою не можна скласти ще одну.

Потім хай запише це як 25 : 4 = 6 (ост. 1) і перевірить: 4 · 6 + 1 = 25.

Повідомити про помилку