Сторінка 228
ДР–6. Подільність натуральних чисел
Варіант 1
1. Чи правильно, що:
1) 8 — дільник 32;
2) 19 — кратне 3?
Розв’язок:
1) Перевіримо, чи ділиться 32 на 8 без остачі: $32 : 8 = 4$. Так, правильно.
2) Перевіримо, чи ділиться 19 на 3 без остачі: $19 : 3 = 6$ (остача 1). Ні, неправильно.
Відповідь: 1) так; 2) ні.
2. Які із чисел 237, 118, 405, 230 діляться: 1) на 3; 2) на 5?
Розв’язок:
1) Число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3:
• 237 ($2 + 3 + 7 = 12$) — ділиться;
• 118 ($1 + 1 + 8 = 10$) — не ділиться;
• 405 ($4 + 0 + 5 = 9$) — ділиться;
• 230 ($2 + 3 + 0 = 5$) — не ділиться.
2) Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на 0 або 5:
Це числа 405 та 230.
Відповідь: 1) 237, 405; 2) 405, 230.
3. Знайди найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне чисел $a$ і $b$, якщо $a = 2 \cdot 5 \cdot 7, b = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$.
Розв’язок:
1) НСД — це добуток спільних множників: $НСД(a, b) = 2 \cdot 5 = 10$.
2) НСК — це добуток одного з чисел та множників іншого числа, яких не вистачає: $НСК(a, b) = (2 \cdot 5 \cdot 7) \cdot 2 \cdot 11 =$
$= 70 \cdot 22 = 1540$.
Відповідь: НСД = 10; НСК = 1540.
4. Розклади на прості множники число: 1) 36; 2) 180.
Розв’язок:
1) $36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$.
2) $180 = 2 \cdot 90 = 2 \cdot 2 \cdot 45 = $
$= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15 = $
$= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.
Відповідь: 1) $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$;
2) $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.
5. Знайди найбільший спільний дільник чисел 35 і 126.
Розв’язок:
1) Розкладемо числа: $35 = 5 \cdot 7$; $126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$.
2) Спільний множник тільки 7. $НСД(35, 126) = 7$.
Відповідь: 7.
6. Знайди найменше спільне кратне чисел 65 і 104.
Розв’язок:
1) Розкладемо числа: $65 = 5 \cdot 13$; $104 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13$.
2) $НСК(65, 104) = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13) \cdot 5 =$
$= 104 \cdot 5 = 520$.
Відповідь: 520.
7. Чи є числа 510 і 119 взаємно простими?
Розв’язок:
1) Розкладемо числа: $119 = 7 \cdot 17$.
2) Перевіримо, чи ділиться 510 на 7 або 17: $510 : 17 = 30$.
3) Оскільки обидва числа мають спільний дільник 17, вони не є взаємно простими.
Відповідь: ні.
8. Замість зірочки в числі 4151* постав таку цифру, щоб отримане число було кратне: 1) 2; 2) 9. Знайди всі розв’язки.
Розв’язок:
1) Кратне 2 (має закінчуватися на парну цифру): 0, 2, 4, 6, 8. Числа: 41510, 41512, 41514, 41516, 41518.
2) Кратне 9 (сума цифр має ділитися на 9): $4 + 1 + 5 + 1 = 11$. Найближче число, що ділиться на 9 — це 18. $18 - 11 = 7$. Число: 41517.
Відповідь: 1) 0, 2, 4, 6, 8; 2) 7.
9. Артем розклав горіхи порівну в 12 пакетів, а потім переклав їх теж порівну в 16 пакетів. Скільки горіхів було в Артема, якщо відомо, що їх не менше за 92, але й не більше ніж 137?
Розв’язок:
1) Кількість горіхів має ділитися і на 12, і на 16. Знайдемо їх НСК.
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$; $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.
$НСК(12, 16) = 16 \cdot 3 = 48$.
2) Знайдемо числа, кратні 48, у заданому проміжку (від 92 до 137):
• $48 \cdot 1 = 48$ (замало);
• $48 \cdot 2 = 96$ (підходить);
• $48 \cdot 3 = 144$ (забагато).
Відповідь: у Артема було 96 горіхів.