Сторінка 250
ЕК–6. Подільність натуральних чисел
Варіант 1
Середній рівень
1. Розклади на прості множники число 1260.
Розв’язок:
$1260 = 2 \cdot 630 = 2 \cdot 2 \cdot 315 =$
$= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 105 =$
$= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 35 =$
$= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
$1260 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$
Відповідь: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.
2. Знайди найбільший спільний дільник чисел 70 і 126.
Розв’язок:
1) $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
2) $126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$
3) Спільні множники: 2 і 7.
НСД$(70; 126) = 2 \cdot 7 = 14$
Відповідь: 14.
3. Знайди найменше спільне кратне чисел 90 і 198.
Розв’язок:
1) $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$
2) $198 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$
3) Беремо розклад більшого числа і додаємо множники меншого, яких не вистачає.
НСК$(90; 198) = 198 \cdot 5 = 990$
Відповідь: 990.
Достатній рівень
1. Чи є взаємно простими числа 63 і 220?
Розв’язок:
1) $63 = 3 \cdot 3 \cdot 7$
2) $220 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$
Спільних дільників, крім одиниці, немає.
Відповідь: так, числа 63 і 220 є взаємно простими.
2. Склади, якщо це можливо, трицифрове число, яке ділиться на 9, з таких цифр (цифри в числі можуть повторюватися): 1) 1, 7; 2) 2, 4.
Розв’язок:
Щоб число ділилося на 9, сума його цифр має ділитися на 9.
1) Цифри 1 та 7. Можливі суми для трьох цифр: $1+1+7=9$. Число 117 або 171 або 711.
2) Цифри 2 та 4. Можливі суми: $2+2+2=6$ (ні), $2+2+4=8$ (ні), $2+4+4=10$ (ні), $4+4+4=12$ (ні).
Відповідь: 1) 117; 2) неможливо.
3. Дві групи велотуристів одночасно вирушили в одному напрямку. Перша група робить зупинки через кожні 12 км, а друга — через кожні 18 км. Яку найменшу відстань вони мають проїхати, щоб їхні зупинки збіглися?
Розв’язок:
Потрібно знайти НСК$(12; 18)$.
1) $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
2) $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
НСК$(12; 18) = 18 \cdot 2 = 36$
Відповідь: 36 км.
Високий рівень
1. Знайди найменше п’ятицифрове число, кратне числу 17.
Розв’язок:
1) Найменше п'ятицифрове число — 10 000.
2) $10000 : 17 = 588$ (остача 4).
3) Наступне ціле число: $589 \cdot 17 = 10013$.
Відповідь: 10 013.
2. Постав замість зірочок такі цифри, щоб число 1*5* ділилося на 3 і 5, а число *37* — на 2 і 9.
Розв’язок:
1) $1*5*$. Ділиться на 5, отже остання цифра 0 або 5.
Якщо остання 0: $1+*+5+0 = 6+*$. Щоб ділилося на 3, $*$ може бути 0, 3, 6, 9. (наприклад 1050).
Якщо остання 5: $1+*+5+5 = 11+*$. Щоб ділилося на 3, $*$ може бути 1, 4, 7. (наприклад 1155).
2) $*37*$. Ділиться на 2, отже остання цифра парна (0, 2, 4, 6, 8).
Сума цифр має ділитися на 9: $*+3+7+* = *+*+10$.
Якщо остання 0, то перша 8 ($8370$). Якщо остання 2, то перша 6 ($6372$). Якщо остання 4, то перша 4 ($4374$). Якщо остання 6, то перша 2 ($2376$). Якщо остання 8, то перша 0 (неможливо).
Відповідь: наприклад, 1050 і 8370.
3. На станції стоять два пасажирські поїзди. У купейних вагонах першого поїзда 144 місця, а другого — 180 місць. Скільки купейних вагонів у кожному поїзді, якщо в кожному купейному вагоні першого і другого поїздів однакова кількість місць і вона більша за 20?
Розв’язок:
1) Треба знайти спільні дільники 144 та 180, які більші за 20.
$144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$
НСД$(144; 180) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$.
Дільники числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Більше за 20 тільки 36.
2) $144 : 36 = 4$ (вагони) — у першому поїзді.
3) $180 : 36 = 5$ (вагонів) — у другому поїзді.
Відповідь: у першому 4 вагони, у другому 5 вагонів.