Сторінка 251
ЕК–6. Подільність натуральних чисел
Варіант 2
Середній рівень
1. Розклади на прості множники число 2100.
Розв’язок:
$2100 = 2 \cdot 1050 = 2 \cdot 2 \cdot 525 =$
$= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 175 =$
$= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 35 = $
$= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$
$2100 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7$
Відповідь: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$.
2. Знайди найбільший спільний дільник чисел 42 і 140.
Розв’язок:
1) $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
2) $140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$
3) Спільні множники: 2 і 7.
НСД$(42; 140) = 2 \cdot 7 = 14$
Відповідь: 14.
3. Знайди найменше спільне кратне чисел 60 і 132.
Розв’язок:
1) $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$
2) $132 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11$
3) Беремо розклад більшого числа і додаємо множники меншого, яких не вистачає.
НСК$(60; 132) = 132 \cdot 5 = 660$
Відповідь: 660.
Достатній рівень
1. Чи є взаємно простими числа 99 і 350?
Розв’язок:
1) $99 = 3 \cdot 3 \cdot 11$
2) $350 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$
Спільних дільників, крім одиниці, немає.
Відповідь: так, числа 99 і 350 є взаємно простими.
2. Склади, якщо це можливо, трицифрове число, яке ділиться на 9, з таких цифр (цифри в числі можуть повторюватися): 1) 2, 5; 2) 1, 8.
Розв’язок:
Щоб число ділилося на 9, сума його цифр має ділитися на 9.
1) Цифри 2 та 5. Можливі суми для трьох цифр: $2+2+5=9$. Число 225 або 252 або 522.
2) Цифри 1 та 8. Можливі суми: $1+8+1=10$ (ні), $8+8+1=17$ (ні), $1+1+1=3$ (ні), $8+8+8=24$ (ні). Також $1+8$ уже дає 9, але нам треба трицифрове число. Жодна комбінація трьох цифр 1 та 8 не дає в сумі 9 або 18.
Відповідь: 1) 225; 2) неможливо.
3. З одного міста в одному напрямку одночасно вирушили велосипедистка, яка робить зупинки через кожні 18 км, і мотоцикліст, який зупиняється через кожні 24 км. Яку найменшу відстань вони мають проїхати, щоб їхні зупинки збіглися?
Розв’язок:
Потрібно знайти НСК$(18; 24)$.
1) $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
2) $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
НСК$(18; 24) = 24 \cdot 3 = 72$
Відповідь: 72 км.
Високий рівень
1. Знайди найменше п’ятицифрове число, кратне числу 19.
Розв’язок:
1) Найменше п'ятицифрове число — 10 000.
2) $10000 : 19 = 526$ (остача 6).
3) Наступне ціле число: $527 \cdot 19 = 10013$.
Відповідь: 10 013.
2. Постав замість зірочок такі цифри, щоб число 2*3* ділилося на 3 і 5, а число *48* — на 2 і 9.
Розв’язок:
1) $2*3*$. Ділиться на 5, отже остання цифра 0 або 5.
Якщо остання 0: $2+*+3+0 = 5+*$. Щоб ділилося на 3, $*$ може бути 1, 4, 7. (наприклад 2130).
Якщо остання 5: $2+*+3+5 = 10+*$. Щоб ділилося на 3, $*$ може бути 2, 5, 8. (наприклад 2235).
2) $*48*$. Ділиться на 2, отже остання цифра парна (0, 2, 4, 6, 8).
Сума цифр має ділитися на 9: $*+4+8+* = *+*+12$.
Якщо остання 0, то перша 6 ($6480$). Якщо остання 2, то перша 4 ($4482$). Якщо остання 4, то перша 2 ($2484$). Якщо остання 6, то перша 0 (неможливо). Якщо остання 8, то перша 7 ($7488$).
Відповідь: наприклад, 2130 і 6480.
3. На станції стоять два пасажирські поїзди. У плацкартних вагонах першого поїзда — 216 місць, а другого — 270 місць. Скільки плацкартних вагонів у кожному поїзді, якщо в кожному плацкартному вагоні першого і другого поїздів однакова кількість місць і вона більша за 30?
Розв’язок:
1) Треба знайти спільні дільники 216 та 270, які більші за 30.
$216 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
$270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$
НСД$(216; 270) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 54$.
Дільники числа 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Більше за 30 тільки 54.
2) $216 : 54 = 4$ (вагони) — у першому поїзді.
3) $270 : 54 = 5$ (вагонів) — у другому поїзді.
Відповідь: у першому 4 вагони, у другому 5 вагонів.