Сторінка 200
С–11. Дільники та кратні натурального числа. Ознаки подільності. Прості та складені числа
Варіант 1
С–11А
1. Запиши всі дільники числа 45 і три числа, кратні йому.
Розв’язок:
1) Дільники числа 45 (числа, на які 45 ділиться без остачі):
1, 3, 5, 9, 15, 45.
2) Три числа, кратні 45 (числа, що діляться на 45):
$45 \cdot 1 = 45$
$45 \cdot 2 = 90$
$45 \cdot 3 = 135$
Відповідь: дільники: 1, 3, 5, 9, 15, 45; кратні: 45, 90, 135.
2. Замість зірочки постав таку цифру, щоб число 581* ділилося: 1) на 5; 2) на 3.
Розв’язок:
1) Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на 0 або 5.
Відповідь: 0 або 5 (числа 5810, 5815).
2) Число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3.
Сума відомих цифр: $5 + 8 + 1 = 14$.
Найближчі числа, що діляться на 3: 15, 18, 21.
$15 - 14 = 1$
$18 - 14 = 4$
$21 - 14 = 7$
Відповідь: 1, 4 або 7 (числа 5811, 5814, 5817).
3. Доведи, що складеним є число: 1) 1378; 2) 20 007.
Розв’язок:
Складене число має більше двох дільників.
1) Число 1378 закінчується парною цифрою 8, тому воно ділиться на 2. Отже, крім 1 та 1378, воно має дільник 2.
2) Знайдемо суму цифр числа 20 007: $2 + 0 + 0 + 0 + 7 = 9$. Сума ділиться на 3 (і на 9), отже, і саме число ділиться на 3 (і на 9). Воно має більше двох дільників.
Відповідь: числа є складеними, бо мають інші дільники, крім 1 та самих себе.
С–11Б
1. Запиши значення x, кратні числу 6, для яких подвійна нерівність 37 < x < 59 буде правильна.
Розв’язок:
1) Знайдемо числа, що діляться на 6 у вказаному проміжку:
$6 \cdot 7 = 42$
$6 \cdot 8 = 48$
$6 \cdot 9 = 54$
($6 \cdot 10 = 60$ — вже більше за 59).
Відповідь: x може дорівнювати 42, 48, 54.
2. Із цифр 1, 5, 9 склади два трицифрових числа, кожне з яких ділиться на 5 (цифри в запису кожного із чисел не повторюються).
Розв’язок:
1) Щоб число ділилося на 5, воно має закінчуватися на 5.
2) Використовуємо цифри 1 та 9 на перших двох позиціях:
195 та 915.
Відповідь: 195, 915.
3. До числа 41 припиши ліворуч таку цифру, щоб утворене число ділилося на 3. (Знайди всі розв’язки.)
Розв’язок:
1) Нехай приписана цифра $a$, тоді число має вигляд $a41$.
2) Сума цифр має ділитися на 3: $a + 4 + 1 = a + 5$.
Якщо $a = 1$, сума $1 + 5 = 6$ (ділиться на 3). Число 141.
Якщо $a = 4$, сума $4 + 5 = 9$ (ділиться на 3). Число 441.
Якщо $a = 7$, сума $7 + 5 = 12$ (ділиться на 3). Число 741.
Відповідь: 1, 4, 7.
С–11В
1. Знайди найбільше чотирицифрове число, кратне числу 13.
Розв’язок:
1) Найбільше чотирицифрове число — 9999. Поділимо його на 13:
$9999 : 13 = 769$ (остача 2)
2) Щоб число ділилося на 13 без остачі, віднімемо остачу від 9999:
$9999 - 2 = 9997$
Перевірка: $9997 : 13 = 769$.
Відповідь: 9997.
2. Для якого найменшого трицифрового натурального значення a значення виразу a + 193 ділиться на 5?
Розв’язок:
1) Найменше трицифрове число — 100.
2) Сума $a + 193$ має закінчуватися на 0 або 5, щоб ділитися на 5.
3) Якщо $a = 100$: $100 + 193 = 293$ (не ділиться).
4) Найближче число після 293, що ділиться на 5, це 295.
$a + 193 = 295$
$a = 295 - 193$
$a = 102$
Відповідь: $a = 102$.
3. Постав замість зірочок такі цифри, щоб число:
1) 17** ділилося на 9 і на 10;
2) 3*2* ділилося на 3 і на 5, але не ділилося на 2.
Розв’язок:
1) Число ділиться на 10, якщо остання цифра 0. Маємо $17*0$.
Сума цифр має ділитися на 9: $1 + 7 + * + 0 = 8 + *$.
Найближче число, що ділиться на 9, це 9.
$9 - 8 = 1$.
Відповідь: 1710.
2) Число не ділиться на 2, отже воно непарне.
Число ділиться на 5 і є непарним, отже остання цифра — 5. Маємо $3*25$.
Сума цифр має ділитися на 3: $3 + * + 2 + 5 = 10 + *$.
Можливі варіанти для зірочки:
$12 - 10 = 2$ (число 3225)
$15 - 10 = 5$ (число 3525)
$18 - 10 = 8$ (число 3825)
Відповідь: 3225, 3525 або 3825.