Сторінка 202
С–12. Розкладання числа на прості множники. НСД, НСК
Варіант 1
С–12А
1. Розклади на прості множники число: 1) 45; 2) 380.
Розв’язок:
1) $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
2) $380 = 2 \cdot 190 = 2 \cdot 2 \cdot 95 =$
$= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 19 = 2^2 \cdot 5 \cdot 19$
Відповідь: 1) $3 \cdot 3 \cdot 5$;
2) $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 19$.
2. Знайди найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне чисел 60 і 210.
Розв’язок:
1) Розкладемо числа на прості множники:
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$
$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
2) Знайдемо НСД (спільні множники):
$НСД(60; 210) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
3) Знайдемо НСК (доповнимо розклад більшого числа множниками меншого, яких не вистачає):
$НСК(60; 210) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 = 420$
Відповідь: $НСД = 30$, $НСК = 420$.
3. Чи є взаємно простими числа: 1) 3 і 26; 2) 48 і 86?
Розв’язок:
1) Число 3 — просте, ділиться на 1 і 3. Число 26 ділиться на 1, 2, 13, 26. Спільний дільник тільки 1, тому числа взаємно прості.
2) Числа 48 і 86 — парні, тому вони обидва діляться на 2. Оскільки у них є спільний дільник, відмінний від 1, вони не є взаємно простими.
Відповідь: 1) так; 2) ні.
С–12Б
1. Запиши всі натуральні числа, менші від 35, розклад яких на прості множники складається з двох множників, один з яких дорівнює 3.
Розв’язок:
Шукані числа мають вигляд $3 \cdot p$, де $p$ — просте число.
1) $3 \cdot 2 = 6$
2) $3 \cdot 3 = 9$
3) $3 \cdot 5 = 15$
4) $3 \cdot 7 = 21$
5) $3 \cdot 11 = 33$
Наступне число $3 \cdot 13 = 39$, що більше за 35.
Відповідь: 6, 9, 15, 21, 33.
2. Знайди хоча б три значення x, для яких найбільшим спільним дільником чисел 28 і x є число 7.
Розв’язок:
Розклад числа $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$. Щоб $НСД(28; x) = 7$, число $x$ має ділитися на 7, але не має ділитися на 2 (щоб не з'явився спільний множник 2). Виберемо непарні числа, кратні 7:
1) $x = 7 \cdot 1 = 7$
2) $x = 7 \cdot 3 = 21$
3) $x = 7 \cdot 5 = 35$
Відповідь: 7, 21, 35.
3. Перевір рівність $НСД(a; b) \cdot НСК(a; b) = ab$, якщо $a = 20$, $b = 25$.
Розв’язок:
1) Знайдемо добуток чисел: $a \cdot b = 20 \cdot 25 = 500$
2) Розкладемо числа: $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$, $25 = 5 \cdot 5$
3) Знайдемо НСД та НСК: $НСД(20; 25) = 5$, $НСК(20; 25) = 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 = 100$
4) Обчислимо добуток НСД і НСК: $5 \cdot 100 = 500$. Добутки рівні ($500 = 500$).
Відповідь: рівність виконується.
С–12В
1. Розклади на прості множники число 234 і знайди всі його дільники.
Розв’язок:
1) Розкладемо число 234 на прості множники: $234 = 2 \cdot 117 =$
$= 2 \cdot 3 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 =$
$= 2 \cdot 3^2 \cdot 13$
2) Знайдемо всі дільники числа: 1, 2, 3, 6 ($2 \cdot 3$), 9 ($3 \cdot 3$), 13, 18 ($2 \cdot 9$), 26 ($2 \cdot 13$), 39 ($3 \cdot 13$), 78 ($6 \cdot 13$), 117 ($9 \cdot 13$), 234.
Відповідь: прості множники: 2, 3, 3, 13; дільники: 1, 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234.
2. Знайди деяке складене число, яке було б взаємно простим з кожним із чисел 20, 78 і 33.
Розв’язок:
1) Розкладемо числа на прості множники, щоб побачити "заборонені" множники: $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$, $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$, $33 = 3 \cdot 11$
2) Шукане число не повинно ділитися на 2, 3, 5, 11 та 13.
3) Візьмемо наступні прості числа: 7 та 17. Складене число: $7 \cdot 7 = 49$ (або $7 \cdot 17 = 119$).
Відповідь: 49.
3. На базу для реалізації в торговельній мережі надійшла деяка кількість книжок, їх більше за 311, але менше від 425. Відомо, що ці книжки можна розподілити порівну між 5, 6 або 8 магазинами. Скільки книжок надійшло на базу?
Розв’язок:
1) Кількість книжок має ділитися на 5, 6 і 8 одночасно. Знайдемо їх НСК.
$5 = 5$,
$6 = 2 \cdot 3$,
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$.
$НСК(5; 6; 8) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 120$
2) Кількість книжок має бути кратною 120:
$120 \cdot 1 = 120$,
$120 \cdot 2 = 240$,
$120 \cdot 3 = 360$ (підходить, бо $311 < 360 < 425$),
$120 \cdot 4 = 480$.
Відповідь: на базу надійшло 360 книжок.