Сторінка 81

 

---

647. Прямий кут $COB$ поділено променями $OA$ і $OD$ так, що $\angle COD = 80^{\circ}$, $\angle BOA = 65^{\circ}$ (мал. 60). Знайди градусну міру $\angle AOD$.

Розв’язок:

1. Оскільки $\angle COB$ прямий, його міра $90^{\circ}$.
2. Знайдемо $\angle COA$:
   $\angle COA = \angle COB – \angle BOA =$
   $= 90^{\circ} – 65^{\circ} = 25^{\circ}$.
3. Знайдемо $\angle AOD$ як різницю кутів $\angle COD$ та $\angle COA$:
   $\angle AOD = \angle COD – \angle COA =$
   $= 80^{\circ} – 25^{\circ} = 55^{\circ}$.

Відповідь: $\angle AOD = 55^{\circ}$.

---

648. На малюнку 61 промінь $OD$ ділить навпіл кут $AOB$, а промінь $OC$ — кут $AOD$. Знайди градусну міру $\angle AOB$, якщо $\angle AOC = 31^{\circ}$.

Розв’язок:

1. Оскільки промінь $OC$ ділить навпіл $\angle AOD$:
   $\angle AOD = 2 \cdot \angle AOC = 2 \cdot 31^{\circ} =$
   $= 62^{\circ}$.
2. Оскільки промінь $OD$ ділить навпіл $\angle AOB$:
   $\angle AOB = 2 \cdot \angle AOD = 2 \cdot 62^{\circ} =$
   $= 124^{\circ}$.

Відповідь: $\angle AOB = 124^{\circ}$.

---

649. На малюнку 61 промінь $OD$ ділить навпіл кут $AOB$, а промінь $OC$ — кут $AOD$. Знайди градусну міру $\angle COD$, якщо $\angle AOB = 116^{\circ}$.

Розв’язок:

1. Промінь $OD$ ділить кут $AOB$ навпіл:
$\angle AOD = \angle AOB : 2$
$\angle AOD = 116^{\circ} : 2 = 58^{\circ}$
2. Промінь $OC$ ділить кут $AOD$ навпіл:
$\angle COD = \angle AOD : 2$
$\angle COD = 58^{\circ} : 2 = 29^{\circ}$
Відповідь: $\angle COD = 29^{\circ}$.

---

650. На малюнку 62 промінь $OD$ ділить навпіл кут $AOC$. Знайди градусну міру $\angle AOC$, якщо $\angle DOB = 130^{\circ}$.

Розв’язок:

1. Кут $AOB$ розгорнутий ($180^{\circ}$). Знайдемо $\angle AOD$:
   $\angle AOD = \angle AOB – \angle DOB =$
   $= 180^{\circ} – 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
2. Оскільки $OD$ ділить $\angle AOC$ навпіл:
   $\angle AOC = 2 \cdot \angle AOD = 2 \cdot 50^{\circ} =$
   $= 100^{\circ}$.

Відповідь: $\angle AOC = 100^{\circ}$.

---

651. На малюнку 62 промінь $OD$ ділить навпіл кут $AOC$. Знайди градусну міру $\angle DOB$, якщо $\angle AOC = 116^{\circ}$.

Розв’язок:

1. Знайдемо $\angle AOD$ як половину $\angle AOC$:
$\angle AOD = 116^{\circ} : 2 = 58^{\circ}$
2. Кут $AOB$ розгорнутий ($180^{\circ}$). Знайдемо $\angle DOB$:
$\angle DOB = 180^{\circ} – \angle AOD = $
$= 180^{\circ} – 58^{\circ} = 122^{\circ}$
Відповідь: $\angle DOB = 122^{\circ}$.

---

652. З вершини прямого кута проведено промінь так, що він ділить прямий кут на два кути, один з яких удвічі більший за інший. Знайди градусні міри цих кутів.

Розв’язок:

1. Нехай міра меншого кута дорівнює $x^{\circ}$. Тоді більший кут — $2x^{\circ}$.
2. Складаємо рівняння: $x + 2x = $
   $= 90 \Rightarrow 3x = 90 \Rightarrow x = 30^{\circ}$.
3. Міра більшого кута: $2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Відповідь: $30^{\circ}$ та $60^{\circ}$.

---

653. Кут $COM$ утричі менший за кут $MOD$ (мал. 63). Знайди ці кути, якщо $\angle COD = 116^{\circ}$.

Розв’язок:

1. Нехай $\angle COM = x^{\circ}$, тоді $\angle MOD = 3 \cdot x^{\circ}$.
$x + 3 \cdot x = 116$
$4 \cdot x = 116$
$x = 116 : 4$
$x = 29$
2. $\angle COM = 29^{\circ}$.
3. $\angle MOD = 3 \cdot 29 = 87^{\circ}$.
Відповідь: $29^{\circ}$ та $87^{\circ}$.

---

654. Градусна міра $\angle MOD$ на $40^{\circ}$ більша за $\angle COM$. Знайди ці кути, якщо $\angle COD = 110^{\circ}$.

Розв’язок:

1. Нехай $\angle COM = x^{\circ}$, тоді $\angle MOD = (x + 40)^{\circ}$.
2. Складаємо рівняння: $x + (x + 40) = 110 \Rightarrow 2x =$
   $= 70 \Rightarrow x = 35^{\circ}$.
3. $\angle MOD = 35^{\circ} + 40^{\circ} = 75^{\circ}$.

Відповідь: $35^{\circ}$ та $75^{\circ}$.

---

655. Прямий кут $MNQ$ променем $NK$ поділено на дві частини. $NP$ — бісектриса $\angle MNK$, $NT$ — бісектриса $\angle KNQ$. Знайди $\angle PNT$.

Розв’язок:

1. $\angle PNT = \angle PNK + \angle KNT$.
2. $\angle PNK = \frac{1}{2} \angle MNK$, а $\angle KNT = \frac{1}{2} \angle KNQ$.
3. $\angle PNT =$
   $= \frac{1}{2} (\angle MNK + \angle KNQ) =$
   $= \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

Відповідь: $45^{\circ}$.

---

656. З вершини розгорнутого кута проведено два промені, що ділять його на три кути. Два з них рівні, і кожен на $30^{\circ}$ менший за третій. Знайди ці кути.

Розв’язок:

1. Нехай рівні кути по $x^{\circ}$, тоді третій — $(x + 30)^{\circ}$.
2. $x + x + (x + 30) = $
   $= 180 \Rightarrow 3x = 150 \Rightarrow x = 50^{\circ}$.
3. Третій кут: $50^{\circ} + 30^{\circ} = 80^{\circ}$.

Відповідь: $50^{\circ}$, $50^{\circ}$ та $80^{\circ}$.