Сторінка 88
718. Відомо, що трикутники $ABC$ і $DEF$ рівні, $\angle A = \angle D, \angle B = \angle E,$
$\angle F = 60^{\circ}, AC = 6 \text{ см},$
$BC = 4 \text{ см}$. Знайди довжини сторін $DF$ і $FE$ трикутника $DEF$ та градусну міру $\angle C$ трикутника $ABC$.
Розв’язок:
1. У рівних трикутниках відповідні сторони та кути рівні.
2. Оскільки $\angle A = \angle D$ та $\angle B = \angle E$, то сторони, що лежать проти цих кутів, та кути при відповідних вершинах будуть рівними:
$DF = AC = 6$ (см)
$FE = BC = 4$ (см)
$\angle C = \angle F = 60^{\circ}$
Відповідь: $DF = 6 \text{ см}, FE = 4 \text{ см}, \angle C = 60^{\circ}$.
719. Відомо, що $\triangle MNK = \triangle BCD,$
$MN = BC, NK = CD, $
$MK = 8 \text{ см}, \angle B = 40^{\circ},$
$\angle D = 80^{\circ}$. Знайди довжину сторони $BD$ трикутника $BCD$ та градусні міри кутів $M$ і $K$ трикутника $MNK$.
Розв’язок:
1. Оскільки трикутники рівні, то відповідні елементи рівні:
$BD = MK = 8$ (см)
$\angle M = \angle B = 40^{\circ}$
$\angle K = \angle D = 80^{\circ}$
Відповідь: $BD = 8 \text{ см}, \angle M = 40^{\circ}, \angle K = 80^{\circ}$.
720. Відомо, що $\triangle ABC = \triangle KPT, $
$AB = 12 \text{ см}$, відрізок $KT$ на 2 см довший за відрізок $AB$, а відрізок $PT$ на 3 см коротший, ніж відрізок $AC$. Знайди периметр трикутника $KPT$.
Розв’язок:
1. Знайдемо сторону $KT$:
$KT = 12 + 2 = 14$ (см)
2. Оскільки трикутники рівні, то $KP = AB = 12$ (см) та $PT = AC$.
3. За умовою $PT = AC - 3$. В рівних трикутниках відповідні сторони мають бути рівними ($PT = AC$). Припустимо, що в умові мається на увазі порівняння з іншим елементом, наприклад $PT = AB - 3$:
$PT = 12 - 3 = 9$ (см)
4. Периметр $P$:
$P = 12 + 14 + 9 = 35$ (см)
Відповідь: 35 см.
721. Прямокутники $ABCD$ і $EFGH$ рівні між собою. Периметр прямокутника $EFGH$ дорівнює 24 см. Знайди сторони цього прямокутника, якщо $AB = 7 \text{ см}$.
Розв’язок:
1. Оскільки прямокутники рівні, то їхні сторони також рівні. Якщо $AB = 7$ см, то одна зі сторін $EFGH$ також дорівнює 7 см.
2. Знайдемо суму довжини і ширини:
$24 : 2 = 12$ (см)
3. Знайдемо іншу сторону:
$12 - 7 = 5$ (см)
Відповідь: 7 см і 5 см.
722. Прямокутники $ABCD$ і $KLMN$ рівні між собою, $AB = 8 \text{ см}$. Знайди сторони прямокутника $KLMN$, якщо його периметр дорівнює 26 см.
Розв’язок:
1. У рівних прямокутників відповідні сторони рівні, тому одна сторона $KLMN$ дорівнює 8 см.
2. Сума сусідніх сторін:
$26 : 2 = 13$ (см)
3. Друга сторона:
$13 - 8 = 5$ (см)
Відповідь: 8 см і 5 см.
723. Два рівних прямокутники приклали один до одного рівними сторонами так, що утворився новий прямокутник. Чи можна стверджувати, що периметр цього прямокутника вдвічі більший за периметр кожного з початкових прямокутників?
Розв’язок:
1. При прикладанні прямокутників дві їхні сторони опиняються всередині нової фігури, тому вони не входять до її периметра.
2. Нехай сторони прямокутника $a$ та $b$. Його периметр $P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot a + 2 \cdot b$.
3. Якщо з'єднати їх сторонами $b$, новий прямокутник матиме сторони $2 \cdot a$ та $b$. Його периметр: $P_{1} = 2 \cdot (2 \cdot a + b) = 4 \cdot a + 2 \cdot b$.
4. Подвоєний початковий периметр: $2 \cdot P = 4 \cdot a + 4 \cdot b$.
Бачимо, що новий периметр менший за подвоєний початковий.
Відповідь: ні, не можна.
724. Чи існує прямокутник з периметром 56 см такий, що його можна поділити на 3 рівних між собою квадрати? У разі ствердної відповіді виконай малюнок і обчисли периметр кожного з утворених квадратів.
Розв’язок:
1. Якщо прямокутник складається з 3 однакових квадратів, то його довжина втричі більша за ширину.
2. Нехай сторона квадрата $x$ см. Тоді сторони прямокутника $x$ см та $3 \cdot x$ см.
$2 \cdot (x + 3 \cdot x) = 56$
$2 \cdot 4 \cdot x = 56$
$8 \cdot x = 56$
$x = 56 : 8 = 7$ (см) — це сторона квадрата.
3. Обчислимо периметр квадрата:
$P = 7 \cdot 4 = 28$ (см)
Відповідь: так, існує; периметр квадрата 28 см.
Площа прямокутника і квадрата
725. Обчисли площу прямокутника, якщо його сторони дорівнюють: 1) 24 см і 15 см; 2) 2 м і 32 дм.
Розв’язок:
1) Використаємо формулу площі $S = a \cdot b$:
$S = 24 \cdot 15 = 360$ ($\text{см}^2$)
2) Переведемо метри в дециметри: $2 \text{ м} = 20 \text{ дм}$.
$S = 20 \cdot 32 = 640$ ($\text{дм}^2$)
Відповідь: 1) $360 \text{ см}^{2}$; 2) $640 \text{ дм}^{2}$.
726. Обчисли площу прямокутника, якщо його сторони дорівнюють: 1) 12 мм і 35 мм; 2) 4 дм і 25 см.
Розв’язок:
1) Знаходимо площу:
$S = 12 \cdot 35 = 420$ ($\text{мм}^2$)
2) Переведемо дециметри в сантиметри: $4 \text{ дм} = 40 \text{ см}$.
$S = 40 \cdot 25 = 1000$ ($\text{см}^2$)
Відповідь: 1) $420 \text{ мм}^{2}$; 2) $1000 \text{ см}^{2}$.