Сторінка 100
839. Які два послідовних натуральних числа є простими числами?
Розв’язок:
Серед усіх простих чисел лише 2 є парним. Усі інші прості числа — непарні. Різниця між будь-якими іншими двома сусідніми числами (парним і непарним) буде мінімум 2, якщо ми шукаємо прості. Тільки числа 2 і 3 стоять поруч і обидва є простими.
Відповідь: 2 і 3.
840. Доведи, що складеним є число: 1) 12 378; 2) 20 007; 3) 18 905; 4) 40 119.
Розв’язок:
1) 12 378 — закінчується на 8, отже ділиться на 2.
2) 20 007 — сума цифр $2 + 0 + 0 + 0 + 7 = 9$, отже ділиться на 9 і на 3.
3) 18 905 — закінчується на 5, отже ділиться на 5.
4) 40 119 — сума цифр $4 + 0 + 1 + 1 + 9 = 15$, отже ділиться на 3.
841. Доведи, що складеним є число: 1) 13 006; 2) 17 005; 3) 100 023; 4) 38 151.
Розв’язок:
1) 13 006 — парне, ділиться на 2.
2) 17 005 — закінчується на 5, ділиться на 5.
3) 100 023 — сума цифр $1 + 0 + 0 + 0 + 2 + 3 = 6$, ділиться на 3.
4) 38 151 — сума цифр $3 + 8 + 1 + 5 + 1 = 18$, ділиться на 9 і на 3.
842. Запиши замість зірочки таку цифру, щоб було складеним число: 1) $513*$; 2) $7*03$.
Розв’язок:
1) Можна поставити 0, щоб число ділилося на 2, 5 і 10. Число: 5130.
2) Сума відомих цифр $7 + 0 + 3 = 10$. Поставимо 2, щоб сума стала 12. Тоді число ділитиметься на 3. Число: 7203.
843. Запиши замість зірочки таку цифру, щоб було складеним число: 1) $407*$; 2) $4*01$.
Розв’язок:
1) Поставимо 5, тоді число ділитиметься на 5. Число: 4075.
2) Сума відомих цифр $4 + 0 + 1 = 5$. Поставимо 1, щоб сума стала 6. Тоді число ділитиметься на 3. Число: 4101.
844. Не використовуючи таблицю простих чисел, знайди: 1) усі прості числа $x$, для яких нерівність $29 < x < 50$ буде правильною; 2) усі складені числа $y$, для яких нерівність $7 < y < 25$ буде правильною.
Розв’язок:
1) Перевіряємо непарні числа: 31 (пр.), 33 (діл. на 3), 35 (діл. на 5), 37 (пр.), 39 (діл. на 3), 41 (пр.), 43 (пр.), 45 (діл. на 5), 47 (пр.), 49 ($7 \cdot 7$).
Відповідь: $x \in \{31, 37, 41, 43, 47\}$.
2) Виписуємо всі числа від 8 до 24 і лишаємо ті, що мають дільники: 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24.
Відповідь: $y \in \{8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,$
$21, 22, 24\}$.
845. Не використовуючи таблицю простих чисел, знайди: 1) усі прості числа, більші за 9 і менші від 21; 2) усі складені числа, більші за 23 і менші від 42.
Розв’язок:
1) Числа: 11, 13, 17, 19.
2) Виписуємо парні та ті, що діляться на 3, 5, 7: 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40.
846. Чи може добуток двох простих чисел бути простим числом? Відповідь обґрунтуй.
Розв’язок:
Ні, не може. Просте число має лише два дільники: 1 та саме це число. Добуток двох простих чисел (наприклад, $2 \cdot 3 = 6$) обов’язково буде ділитися на 1, на саме себе, а також на кожне з цих простих чисел. Таким чином, у добутку буде більше двох дільників, що робить його складеним.
847. Чи може сума двох простих чисел бути простим числом? Наведи приклад.
Розв’язок:
Так, може. Приклад: $2 + 3 = 5$. Числа 2 і 3 — прості, їхня сума 5 — також просте число. Ще один приклад: $2 + 5 = 7$ (7 — просте число).
848. Чи можна записати просте трицифрове число, використовуючи лише один раз кожну із цифр: 1) 2; 6; 8; 2) 2; 3; 4; 3) 0; 5; 6?
Розв’язок:
1) Ні, бо всі цифри парні, отже будь-яке число з них буде парним і ділитиметься на 2.
2) Перевіримо суму цифр: $2 + 3 + 4 = 9$. Сума ділиться на 9, отже будь-яке число з цих цифр ділитиметься на 9 і на 3. Воно буде складеним.
3) Число буде закінчуватися на 0 або 5 (якщо 5 або 0 в кінці) — ділитиметься на 5. Також сума цифр $0 + 5 + 6 = 11$, але через 0 або 6 у кінці воно завжди буде ділитися на 2 або 5. Отже, ні.
849. Чи можна записати просте трицифрове число, використовуючи лише один раз кожну із цифр: 1) 0; 2; 5; 2) 1; 2; 3?
Розв’язок:
1) Ні, бо будь-яке таке число буде закінчуватися на 0, 2 або 5, а отже, ділитиметься на 2 або на 5.
2) Перевіримо суму цифр: $1 + 2 + 3 = 6$. Сума ділиться на 3, тому будь-яке число з цих цифр буде ділитися на 3 і буде складеним.
850. Простим чи складеним є число, записане за допомогою: 1) 7 двійка; 2) 18 одиниць; 3) 2015 п’ятірок?
Розв’язок:
1) Складеним, бо воно закінчується на 2, отже ділиться на 2.
2) Складеним, бо сума цифр дорівнює 18 ($1 \cdot 18 = 18$). Оскільки 18 ділиться на 3 і на 9, то і все число ділиться на 3 і на 9.
3) Складеним, бо воно закінчується на 5, отже ділиться на 5. Також сума цифр $5 \cdot 2015$ точно ділиться на 5.