Сторінка 102
863. Напиши всі двоцифрові числа, розкладання яких на прості множники складається: 1) з двох однакових множників; 2) з трьох однакових множників.
Розв’язок:
1) Перевіримо квадрати простих чисел:
$5 \cdot 5 = 25$
$7 \cdot 7 = 49$
(Наступне $11 \cdot 11 = 121$ — вже трицифрове).
Відповідь: 25, 49.
2) Перевіримо куби простих чисел:
$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
(Наступне $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ — вже трицифрове).
Відповідь: 27.
864. Запиши всі двоцифрові числа, розкладання яких на прості множники складається з двох множників, один з яких дорівнює 7.
Розв’язок:
Множимо 7 на інші прості числа, щоб отримати двоцифрове число:
$7 \cdot 2 = 14$
$7 \cdot 3 = 21$
$7 \cdot 5 = 35$
$7 \cdot 7 = 49$
$7 \cdot 11 = 77$
$7 \cdot 13 = 91$
(Наступне $7 \cdot 17 = 119$ — вже трицифрове).
Відповідь: 14, 21, 35, 49, 77, 91.
865. У кількох хлопців разом було 165 наліпок, причому хлопців було менше ніж 10 і у кожного була однакова кількість наліпок. Скільки всього було хлопців і скільки наліпок мав кожний із них?
Розв’язок:
Розкладемо 165 на прості множники: $165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$.
Дільники числа 165: 1, 3, 5, 11, 15, 33, 55, 165.
За умовою хлопців менше за 10. Це можуть бути варіанти: 1, 3 або 5 хлопців. Оскільки в умові сказано «у кількох хлопців» (множина), то варіант 1 хлопець не підходить.
Якщо хлопців було 3, то наліпок: $165 : 3 = 55$.
Якщо хлопців було 5, то наліпок: $165 : 5 = 33$.
Відповідь: 3 хлопці по 55 наліпок або 5 хлопців по 33 наліпок.
866. 42 книжки розставили на кількох полицях так, що кількість книжок на кожній полиці — однакова, а полиць менше ніж 7. Скільки полиць зайняли книжками і скільки книжок стояло на кожній полиці?
Розв’язок:
Розкладемо 42 на прості множники: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.
Дільники числа 42, що менші за 7: 1, 2, 3, 6.
Оскільки полиць «кілька», варіант 1 не беремо.
Якщо полиць 2, то книжок: $42 : 2 = 21$.
Якщо полиць 3, то книжок: $42 : 3 = 14$.
Якщо полиць 6, то книжок: $42 : 6 = 7$.
Відповідь: 2 полиці по 21 книжці, 3 полиці по 14 книжок або 6 полиць по 7 книжок.
867. Розклади на прості множники число 660 та знайди всі його дільники.
Розв’язок:
Розклад: $660 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$
Дільники: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 15, 20, 22, 30, 33, 44, 55, 60, 66, 110, 132, 165, 220, 330, 660.
868. Розклади на прості множники число 300 та знайди всі його дільники.
Розв’язок:
Розклад: $300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$
Дільники: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300.
Найбільший спільний дільник
869. (Усно.) Чи є число 3 спільним дільником чисел: 1) 12 і 15; 2) 18 і 20?
Розв’язок:
1) Так, бо 12 ділиться на 3 ($12 : 3 = 4$) і 15 ділиться на 3 ($15 : 3 = 5$).
2) Ні, бо 20 не ділиться на 3 без остачі.
870. Знайди найбільший спільний дільник чисел a і b, якщо: 1) $a = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$ і $b = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13$; 2) $a = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ і $b = 5 \cdot 5 \cdot 17$.
Розв’язок:
1) Випишемо спільні множники: 2, 3 та 11.
НСД $(a; b) = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$.
2) Випишемо спільні множники: 5 та 5.
НСД $(a; b) = 5 \cdot 5 = 25$.
871. Знайди найбільший спільний дільник чисел c і d, якщо: 1) $c = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ і $d = 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$;
2) $c = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$ і $d = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13$.
Розв’язок:
1) Випишемо спільні множники: 2, 5 та 7.
НСД $(c; d) = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.
2) Випишемо спільні множники: 2, 3 та 11.
НСД $(c; d) = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$.
872. (Усно.) Чи є взаємно простими числа: 1) 14 і 12; 2) 7 і 9; 3) 3 і 21; 4) 4 і 13?
Розв’язок:
1) Ні, бо обидва числа парні, отже мають спільний дільник 2.
2) Так, бо їхнім єдиним спільним дільником є 1.
3) Ні, бо обидва числа діляться на 3.
4) Так, бо їхнім єдиним спільним дільником є 1.