Сторінка 103
873. Запиши три числа, взаємно простих із числом 10, і три числа, які не є взаємно простими із числом 10.
Розв’язок:
Дільники числа 10: 1, 2, 5, 10.
Взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1): 3, 7, 9.
Не взаємно прості (мають спільні дільники 2 або 5): 4, 15, 20.
874. Запиши чотири числа, взаємно простих із числом 28, і чотири числа, які не є взаємно простими із числом 28.
Розв’язок:
Розклад числа 28: $2 \cdot 2 \cdot 7$.
Взаємно прості (не діляться на 2 і 7): 3, 5, 9, 11.
Не взаємно прості (діляться на 2 або 7): 2, 7, 14, 21.
875. Знайди найбільший спільний дільник чисел: 1) 33 і 44; 2) 66 і 90; 3) 60 і 660; 4) 220 і 420; 5) 180 і 840; 6) 126; 180 і 210.
Розв’язок:
1) $33 = 3 \cdot 11$; $44 = 2 \cdot 2 \cdot 11$. НСД $(33; 44) = 11$.
2) $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$; $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$. НСД $(66; 90) = 2 \cdot 3 = 6$.
3) Оскільки 660 ділиться на 60, то НСД $(60; 660) = 60$.
4) $220 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$; $420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. НСД $(220; 420) = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$.
5) $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$; $840 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. НСД $(180; 840) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
6) $126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$; $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$; $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. Спільні: 2 і 3. НСД $(126; 180; 210) = 2 \cdot 3 = 6$.
876. Знайди найбільший спільний дільник чисел: 1) 42 і 66; 2) 84 і 198; 3) 44 і 132; 4) 102 і 340; 5) 550 і 1430; 6) 60; 140 і 260.
Розв’язок:
1) $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$; $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$. НСД $(42; 66) = 2 \cdot 3 = 6$.
2) $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$; $198 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$. НСД $(84; 198) = 2 \cdot 3 = 6$.
3) Оскільки $132 = 44 \cdot 3$, то НСД $(44; 132) = 44$.
4) $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$; $340 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 17$. НСД $(102; 340) = 2 \cdot 17 = 34$.
5) $550 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$; $1430 = 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$. НСД $(550; 1430) = 2 \cdot 5 \cdot 11 = 110$.
6) $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$; $140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$; $260 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13$. НСД $(60; 140; 260) = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$.
877. Знайди: 1) НСД(84; 462); 2) НСД(480; 680); 3) НСД(12; 24; 120); 4) НСД(154; 42; 70).
Розв’язок:
1) $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$; $462 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$. НСД $= 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
2) $480 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5$; $680 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$. НСД $= 2^3 \cdot 5 = 40$.
3) Оскільки 24 і 120 діляться на 12, то НСД $= 12$.
4) $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$; $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$; $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. НСД $= 2 \cdot 7 = 14$.
878. Знайди найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу: 1) $\frac{7}{21}$; 2) $\frac{25}{150}$; 3) $\frac{22}{77}$; 4) $\frac{45}{60}$.
Розв’язок:
1) НСД(7; 21) = 7.
2) НСД(25; 150) = 25.
3) НСД(22; 77) = 11.
4) $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$; $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. НСД $(45; 60) = 3 \cdot 5 = 15$.
879. Знайди найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу: 1) $\frac{8}{18}$; 2) $\frac{6}{12}$; 3) $\frac{30}{75}$; 4) $\frac{36}{48}$.
Розв’язок:
1) НСД(8; 18) = 2.
2) НСД(6; 12) = 6.
3) $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$; $75 = 3 \cdot 5 \cdot 5$. НСД $(30; 75) = 3 \cdot 5 = 15$.
4) $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$; $48 = 2^4 \cdot 3$. НСД $(36; 48) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.
880. Доведи, що числа: 1) 36 і 65 взаємно прості; 2) 56 і 63 не є взаємно простими.
Розв’язок:
1) Розкладемо числа на прості множники: $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$; $65 = 5 \cdot 13$. Спільних простих множників немає, отже НСД$(36; 65) = 1$. Числа взаємно прості.
2) Розкладемо числа на прості множники: $56 = 2^3 \cdot 7$; $63 = 3^2 \cdot 7$. Спільний множник — число 7. НСД$(56; 63) = 7$. Оскільки НСД $\neq 1$, числа не є взаємно простими.
881. Доведи, що числа: 1) 54 і 36 не є взаємно простими; 2) 42 і 55 взаємно прості.
Розв’язок:
1) Обидва числа парні, тому вони діляться на 2. Отже, їхній НСД принаймні 2, що означає, що вони не є взаємно простими.
2) Розкладемо на множники: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$; $55 = 5 \cdot 11$. Спільних множників немає, НСД$(42; 55) = 1$. Числа взаємно прості.
882. Чи є взаємно простими числа: 1) 2 і 65; 2) 55 і 75; 3) 48 і 54; 4) 33 і 35?
Розв’язок:
1) Так, бо 65 не ділиться на 2 (воно непарне).
2) Ні, бо обидва числа закінчуються на 5, отже діляться на 5.
3) Ні, бо обидва числа парні, отже діляться на 2.
4) Так. $33 = 3 \cdot 11$, а $35 = 5 \cdot 7$. Спільних множників немає.
883. Чи є взаємно простими числа: 1) 3 і 29; 2) 72 і 98; 3) 110 і 65; 4) 30 і 77?
Розв’язок:
1) Так, бо 29 не ділиться на 3 (сума цифр $2 + 9 = 11$).
2) Ні, бо числа парні (діляться на 2).
3) Ні, бо обидва числа діляться на 5 (закінчуються на 0 і 5).
4) Так. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, а $77 = 7 \cdot 11$. Спільних множників немає.
884. Знайди пари взаємно простих чисел серед чисел 14, 21, 22, 33 і 154.
Розв’язок:
Розкладемо кожне число:
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
$22 = 2 \cdot 11$
$33 = 3 \cdot 11$
$154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$
Перевіримо пари:
1) 14 і 21 — ні (спільне 7)
2) 14 і 22 — ні (спільне 2)
3) 14 і 33 — так (спільних немає)
4) 14 і 154 — ні (спільне 2, 7)
5) 21 і 22 — так (спільних немає)
6) 21 і 33 — ні (спільне 3)
7) 21 і 154 — ні (спільне 7)
8) 22 і 33 — ні (спільне 11)
9) 22 і 154 — ні (спільне 2, 11)
10) 33 і 154 — ні (спільне 11)
Відповідь: (14 і 33) та (21 і 22).