Сторінка 104
885. Знайди пари взаємно простих чисел серед чисел 10, 42, 55 і 77.
Розв’язок:
Розкладемо кожне число на прості множники:
$10 = 2 \cdot 5$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$55 = 5 \cdot 11$
$77 = 7 \cdot 11$
Пари взаємно простих чисел (не мають спільних множників):
1) 10 і 42 — ні (спільний множник 2)
2) 10 і 55 — ні (спільний множник 5)
3) 10 і 77 — так
4) 42 і 55 — так
5) 42 і 77 — ні (спільний множник 7)
6) 55 і 77 — ні (спільний множник 11)
Відповідь: (10 і 77) та (42 і 55).
886. Запиши всі правильні дроби зі знаменником 24, у яких чисельник і знаменник — взаємно прості числа.
Розв’язок:
Дріб правильний, якщо чисельник менший за знаменник ($x < 24$).
Розклад 24: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$. Чисельник не повинен ділитися на 2 і 3.
Це числа: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Відповідь: $\frac{1}{24}; \frac{5}{24}; \frac{7}{24}; \frac{11}{24}; \frac{13}{24}; \frac{17}{24}; \frac{19}{24}; \frac{23}{24}$.
887. Запиши всі неправильні дроби із чисельником 18, у яких чисельник і знаменник — взаємно прості числа.
Розв’язок:
Дріб неправильний, якщо знаменник менший або дорівнює чисельнику ($y \leq 18$).
Розклад 18: $2 \cdot 3 \cdot 3$. Знаменник не повинен ділитися на 2 і 3.
Це числа: 1, 5, 7, 11, 13, 17.
Відповідь: $\frac{18}{1}; \frac{18}{5}; \frac{18}{7}; \frac{18}{11}; \frac{18}{13}; \frac{18}{17}$.
888. Знайди хоча б три значення x, для яких найбільшим спільним дільником чисел 20 і x є число 5.
Розв’язок:
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$. Щоб НСД був 5, число $x$ має ділитися на 5, але не повинно ділитися на 2 (щоб не з'явився зайвий множник 2).
Приклади:
1) $x = 5 \cdot 1 = 5$
2) $x = 5 \cdot 3 = 15$
3) $x = 5 \cdot 5 = 25$
Відповідь: 5, 15, 25.
889. Знайди хоча б три значення y, для яких найбільшим спільним дільником чисел y і 36 є число 9.
Розв’язок:
$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$. Щоб НСД був 9 ($3^2$), число $y$ має ділитися на 9, але не повинно ділитися на 2.
Приклади:
1) $y = 9 \cdot 1 = 9$
2) $y = 9 \cdot 3 = 27$
3) $y = 9 \cdot 5 = 45$
Відповідь: 9, 27, 45.
890. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти із 36 мандаринів і 24 апельсинів, якщо використати всі фрукти? Скільки фруктів кожного виду буде в кожному з подарунків?
Розв’язок:
Треба знайти НСД(36; 24).
$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
НСД $(36; 24) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ (подарунків).
Мандаринів у подарунку: $36 : 12 = 3$.
Апельсинів у подарунку: $24 : 12 = 2$.
Відповідь: 12 подарунків; у кожному 3 мандарини і 2 апельсини.
891. У яку найбільшу кількість магазинів можна порівну розподілити 45 планшетів і 60 ноутбуків для продажу? Скільки планшетів і скільки ноутбуків отримає кожний магазин?
Розв’язок:
Треба знайти НСД(45; 60).
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$
НСД $(45; 60) = 3 \cdot 5 = 15$ (магазинів).
Планшетів: $45 : 15 = 3$.
Ноутбуків: $60 : 15 = 4$.
Відповідь: 15 магазинів; у кожний 3 планшети і 4 ноутбуки.
892. (Усно.) Чи правильні такі твердження: 1) будь-які два парних числа не є взаємно простими; 2) парне і непарне числа завжди взаємно прості; 3) будь-які два простих числа є взаємно простими; 4) два числа, одне з яких просте, а друге — складене, є взаємно простими?
Розв’язок:
1) Правильно, бо обидва парні числа діляться на 2.
2) Неправильно. Наприклад, 6 (парне) і 9 (непарне) обидва діляться на 3, тому вони не є взаємно простими.
3) Правильно. Прості числа мають дільниками лише 1 та самих себе, тому їхній НСД завжди 1.
4) Неправильно. Наприклад, 3 (просте) і 9 (складене) мають спільний дільник 3.
893. Знайди деяке складене число, яке було б взаємно простим з кожним із чисел 22, 51 і 115.
Розв’язок:
Розкладемо числа на множники:
$22 = 2 \cdot 11$
$51 = 3 \cdot 17$
$115 = 5 \cdot 23$
Шукане складене число не повинно мати множників 2, 3, 5, 11, 17, 23. Візьмемо наступні прості числа: 7 і 7. $7 \cdot 7 = 49$.
Відповідь: 49.
894. Знайди деяке складене число, яке було б взаємно простим з кожним із чисел 26, 77 і 95.
Розв’язок:
Розкладемо числа на множники:
$26 = 2 \cdot 13$
$77 = 7 \cdot 11$
$95 = 5 \cdot 19$
Число не повинно ділитися на 2, 5, 7, 11, 13, 19. Візьмемо прості числа 3 і 3. $3 \cdot 3 = 9$.
Відповідь: 9.
895. До готелю завезли 72 ліжка і 96 стільців, які порівну розподілили по всіх кімнатах. Скільки кімнат у готелі, якщо відомо, що їх більше ніж 13?
Розв’язок:
Кількість кімнат має бути спільним дільником чисел 72 і 96.
$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
$96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
НСД $(72; 96) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$.
Дільники числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. За умовою кімнат більше ніж 13. Це число 24.
Відповідь: 24 кімнати.
896. Між учнями класу порівну поділили 84 зошити в лінійку і 112 зошитів у клітинку. Скільки учнів у класі, якщо відомо, що їх більше ніж 18?
Розв’язок:
Кількість учнів — спільний дільник чисел 84 і 112.
$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$
$112 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$
НСД $(84; 112) = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 28$.
Дільники числа 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. За умовою учнів більше ніж 18. Це число 28.
Відповідь: 28 учнів.