Сторінка 105
Найменше спільне кратне
897. (Усно.) Чи є число: 1) 24 спільним кратним чисел 2 і 8; 2) 36 спільним кратним чисел 8 і 9; 3) 12 найменшим спільним кратним чисел 2 і 3; 4) 18 найменшим спільним кратним чисел 6 і 9?
Розв’язок:
1) Так, бо 24 ділиться і на 2
($24 : 2 = 12$), і на 8 ($24 : 8 = 3$).
2) Ні, бо 36 не ділиться на 8 без остачі.
3) Ні, бо найменшим спільним кратним чисел 2 і 3 є число 6
($2 \cdot 3 = 6$).
4) Так. Кратні 6: 6, 12, 18... Кратні 9: 9, 18... 18 — найменше спільне.
898. Чи є число: 1) 70 є спільним кратним чисел 5 і 7; 2) 24 є найменшим спільним кратним чисел 4 і 6; 3) 16 є найменшим спільним кратним чисел 8 і 16?
Розв’язок:
1) Так, бо 70 ділиться на 5 (закінчується на 0)
і на 7($70 : 7 = 10$).
2) Ні, бо найменшим спільним кратним для 4 і 6 є 12 ($12 : 4 = 3$, $12 : 6 = 2$).
3) Так, бо 16 ділиться на 8, тому воно і є найменшим спільним кратним.
899. Укажи кілька спільних кратних чисел: 1) 2 і 7; 2) 3 і 5; 3) 4 і 12; 4) 7 і 8.
Розв’язок:
1) 14, 28, 42.
2) 15, 30, 45.
3) 12, 24, 36.
4) 56, 112, 168.
900. Укажи кілька спільних кратних чисел: 1) 3 і 4; 2) 2 і 5; 3) 7 і 14; 4) 5 і 6.
Розв’язок:
1) 12, 24, 36.
2) 10, 20, 30.
3) 14, 28, 42.
4) 30, 60, 90.
901. Знайди найменше спільне кратне чисел c і d, якщо: 1) $c = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ і $d = 2 \cdot 3 \cdot 11$; 2) $c = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13$ і $d = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$.
Розв’язок:
1) Беремо розклад $c$ і додаємо множники з $d$, яких немає в $c$ (це 11).
НСК $(c; d) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$.
2) Беремо розклад $c$ і додаємо множник 7 з розкладу $d$.
НСК $(c; d) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 7 = 3276$.
902. Знайди найменше спільне кратне чисел a і b, якщо: 1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$ і $b = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$;
2) $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$ і $b = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$.
Розв’язок:
1) До розкладу $a$ додаємо множник 13, якого там немає.
НСК $(a; b) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 3276$.
2) До розкладу $a$ додаємо множник 7 з розкладу $b$.
НСК $(a; b) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 1050$.
903. Доведи, що подані числа є взаємно простими, та знайди їхнє найменше спільне кратне: 1) 7 і 8; 2) 15 і 22.
Розв’язок:
1) Числа 7 і 8 є взаємно простими, оскільки їхній єдиний спільний дільник — 1.
НСК $(7; 8) = 7 \cdot 8 = 56$
2) Розкладемо на множники: $15 = 3 \cdot 5$; $22 = 2 \cdot 11$. Спільних множників немає, тому НСК дорівнює їхньому добутку.
НСК $(15; 22) = 15 \cdot 22 = 330$
904. Доведи, що подані числа є взаємно простими, та знайди їхнє найменше спільне кратне: 1) 5 і 12; 2) 14 і 33.
Розв’язок:
1) Число 5 — просте, 12 на нього не ділиться. Спільних дільників, крім 1, немає.
НСК $(5; 12) = 5 \cdot 12 = 60$
2) Розкладемо на множники: $14 = 2 \cdot 7$; $33 = 3 \cdot 11$. Спільних множників немає.
НСК $(14; 33) = 14 \cdot 33 = 462$
905. Знайди найменше спільне кратне чисел: 1) 13 і 39; 2) 15 і 35; 3) 48 і 80; 4) 200 і 350; 5) 4; 12 і 18; 6) 90; 150 і 210.
Розв’язок:
1) Оскільки 39 ділиться на 13, то НСК $(13; 39) = 39$
2) $15 = 3 \cdot 5$; $35 = 5 \cdot 7$. НСК $= 5 \cdot 3 \cdot 7 = 105$
3) $48 = 2^4 \cdot 3$; $80 = 2^4 \cdot 5$. НСК $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240$
4) $200 = 2^3 \cdot 5^2$; $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$. НСК $= 2^3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 1400$
5) $4 = 2^2$; $12 = 2^2 \cdot 3$; $18 = 2 \cdot 3^2$. НСК $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$
6) $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$; $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. НСК $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 3150$
906. Знайди найменше спільне кратне чисел: 1) 14 і 28; 2) 21 і 35; 3) 36 і 54; 4) 120 i 280; 5) 5; 15 і 18; 6) 100; 140 і 180.
Розв’язок:
1) Оскільки 28 ділиться на 14, то НСК $(14; 28) = 28$
2) $21 = 3 \cdot 7$; $35 = 5 \cdot 7$. НСК $= 7 \cdot 3 \cdot 5 = 105$
3) $36 = 2^2 \cdot 3^2$; $54 = 2 \cdot 3^3$. НСК $= 2^2 \cdot 3^3 = 108$
4) $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$; $280 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7$. НСК $= 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$
5) $5 = 5$; $15 = 3 \cdot 5$; $18 = 2 \cdot 3^2$. НСК $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$
6) $100 = 2^2 \cdot 5^2$; $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$; $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$. НСК $= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 6300$