Сторінка 106
907. Знайди: 1) НСК(40; 56); 2) НСК(330; 154); 3) НСК(24; 36; 72); 4) НСК(420; 252; 840).
Розв’язок:
1) $40 = 2^3 \cdot 5$; $56 = 2^3 \cdot 7$.
НСК $(40; 56) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 280$.
2) $330 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$; $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$.
НСК $(330; 154) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 7 = 2310$.
3) Оскільки 72 ділиться на 24 і на 36, то НСК $(24; 36; 72) = 72$.
4) Розкладемо числа на множники:
$840 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$; $252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$.
НСК $(420; 252; 840) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 =$
$= 2520$.
908. Знайди найменше спільне кратне знаменників дробів: 1) $\frac{1}{8}$ і $\frac{5}{12}$; 2) $\frac{7}{16}$ і $\frac{11}{24}$; 3) $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{12}$ і $\frac{23}{24}$; 4) $\frac{4}{7}$, $\frac{11}{28}$ і $\frac{13}{42}$.
Розв’язок:
1) НСК(8; 12) = 24.
2) НСК(16; 24) = 48.
3) НСК(8; 12; 24) = 24.
4) $7 = 7$; $28 = 2^2 \cdot 7$; $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$. НСК $= 2^2 \cdot 7 \cdot 3 = 84$.
909. Знайди найменше спільне кратне знаменників дробів: 1) $\frac{1}{9}$ і $\frac{2}{15}$; 2) $\frac{7}{12}$ і $\frac{3}{16}$; 3) $\frac{1}{5}$, $\frac{3}{20}$ і $\frac{7}{25}$; 4) $\frac{3}{4}$, $\frac{15}{16}$ і $\frac{7}{24}$.
Розв’язок:
1) НСК(9; 15) = 45.
2) НСК(12; 16) = 48.
3) НСК(5; 20; 25) = 100.
4) НСК(4; 16; 24) = 48.
910. Перевір рівність НСД$(a; b) \cdot$ НСК$(a; b) = a \cdot b$, якщо: 1) $a = 4, b = 12$; 2) $a = 7, b = 9$; 3) $a = 12, b = 18$; 4) $a = 20, b = 35$.
Розв’язок:
1) НСД = 4, НСК = 12. $4 \cdot 12 = 48$; $a \cdot b = 4 \cdot 12 = 48$. Рівність вірна.
2) НСД = 1, НСК = 63. $1 \cdot 63 = 63$; $a \cdot b = 7 \cdot 9 = 63$. Рівність вірна.
3) НСД = 6, НСК = 36. $6 \cdot 36 = 216$; $a \cdot b = 12 \cdot 18 = 216$. Рівність вірна.
4) НСД = 5, НСК = 140. $5 \cdot 140 = 700$; $a \cdot b = 20 \cdot 35 = 700$. Рівність вірна.
911. Перевір рівність НСД$(a; b) \cdot$ НСК$(a; b) = a \cdot b$, якщо: 1) $a = 25, b = 15$; 2) $a = 36, b = 9$.
Розв’язок:
1) НСД = 5, НСК = 75. $5 \cdot 75 = 375$; $a \cdot b = 25 \cdot 15 = 375$. Рівність вірна.
2) НСД = 9, НСК = 36. $9 \cdot 36 = 324$; $a \cdot b = 36 \cdot 9 = 324$. Рівність вірна.
912. Довжина кроку Марійки 60 см, а Оленки — 50 см. Яку найменшу відстань вони мають пройти, щоб кожна зробила цілу кількість кроків?
Розв’язок:
Найменша відстань дорівнює НСК довжин кроків дівчат.
$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$50 = 2 \cdot 5^2$
НСК $(60; 50) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300$
Відповідь: 300 см (або 3 м).
913. Два равлики одночасно вирушили в одному напрямку. Перший зупиняється через кожні 12 см, а другий — через кожні 18 см. На якій найменшій відстані від спільного місця старту їхні зупинки збігатимуться?
Розв’язок:
Зупинки збігатимуться на відстані, що є НСК інтервалів зупинок.
$12 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3^2$
НСК $(12; 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$
Відповідь: зупинки збігатимуться на відстані 36 см.
914. Знайди найменше спільне кратне перших: 1) п’яти натуральних чисел; 2) шести непарних чисел.
Розв’язок:
1) Числа: 1, 2, 3, 4, 5.
НСК $(1; 2; 3; 4; 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
2) Непарні числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11.
НСК $(1; 3; 5; 7; 9; 11) = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 =$
$= 3465$.
Відповідь: 1) 60; 2) 3465.
915. Батарейка коштує 7 грн 20 к. Покупець має 400 монет по 50 к., а в продавця немає решти. Яку найменшу кількість батарейок можна купити без решти?
Розв’язок:
Вартість батарейки: 720 к. Номінал монети: 50 к.
Сума має бути кратною 720 і 50. Знайдемо НСК.
$720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$; $50 = 2 \cdot 5^2$.
НСК $(720; 50) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 3600$.
Кількість батарейок: $3600 : 720 = 5$.
Перевірка монет: $3600 : 50 = 72$ (монет вистачає).
Відповідь: найменша кількість становить 5 батарейок.