Сторінка 176
33. З літер слова «учень» беруть деякі три та викладають у ряд. Скільки різних послідовностей літер при цьому можна отримати?
Розв'язок:
1) У слові «учень» 5 різних літер (у, ч, е, н, ь).
2) На перше місце можна обрати будь-яку з 5 літер.
3) На друге місце — будь-яку з 4 літер, що залишилися.
4) На третє місце — будь-яку з 3 літер, що залишилися.
5) Загальна кількість послідовностей:
$5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ (послідовностей).
Відповідь: можна отримати 60 послідовностей.
34. Скількома способами можна вибрати старосту та його заступника з класу, у якому навчаються 25 учнів?
Розв'язок:
1) Старостою можна обрати будь-якого з 25 учнів класу.
2) Заступником можна обрати будь-якого з 24 учнів, що залишилися.
3) Загальна кількість способів вибору:
$25 \cdot 24 = 600$ (способів).
Відповідь: можна вибрати 600 способами.
35. У волейбольній команді із 6 гравців потрібно вибрати капітана та його заступника. Скількома способами це можна зробити?
Розв'язок:
1) Капітаном можна обрати одного з 6 гравців.
2) Заступником — одного з 5 гравців, що залишилися.
3) Загальна кількість способів:
$6 \cdot 5 = 30$ (способів).
Відповідь: це можна зробити 30 способами.
36. У ящику лежать 100 білих і 100 чорних кульок. Яку найменшу кількість кульок, не заглядаючи в ящик, потрібно взяти, щоб серед них обов'язково було хоча б 5 кульок одного кольору?
Розв'язок:
1) Розглянемо найгірший випадок: ми витягли по 4 кульки кожного кольору.
2) $4 + 4 = 8$ (кульок) — у нас по 4 білих і 4 чорних.
3) Наступна витягнута кулька (дев'ята) обов'язково зробить один із кольорів п'ятим.
4) $8 + 1 = 9$ (кульок).
Відповідь: потрібно взяти 9 кульок.
37. У шкатулці лежать 20 червоних, 20 зелених і 20 блакитних намистин. Яку найменшу кількість намистин, не заглядаючи у шкатулку, потрібно взяти, щоб серед них обов'язково було хоча б 4 намистини одного кольору?
Розв'язок:
1) Розглянемо найгірший випадок: ми витягли по 3 намистини кожного з трьох кольорів.
2) $3 \cdot 3 = 9$ (намистин) — у нас по 3 штуки кожного кольору.
3) Наступна намистина (десята) обов'язково буде четвертою для якогось кольору.
4) $9 + 1 = 10$ (намистин).
Відповідь: потрібно взяти 10 намистин.
38. Скільки існує двоцифрових чисел, у яких перша цифра більша за другу?
Розв'язок:
Випишемо кількість таких чисел для кожної першої цифри:
1) Якщо перша цифра 1: це число 10 (1 варіант).
2) Якщо перша цифра 2: це 20, 21 (2 варіанти).
3) Якщо 3: це 30, 31, 32 (3 варіанти).
...
9) Якщо перша цифра 9: це від 90 до 98 (9 варіантів).
Загальна сума:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +$
$+ 9 = 45$ (чисел).
Відповідь: існує 45 таких чисел.
39. Постав у виразі $12 + 3 \cdot 9 - 2$ одну пару дужок усіма можливими способами і знайди значення кожного виразу.
Розв'язок:
1) $(12 + 3) \cdot 9 - 2 = 15 \cdot 9 - 2 =$
$= 135 - 2 = 133$
2) $12 + (3 \cdot 9) - 2 = 12 + 27 - 2 =$
$= 37$
3) $12 + 3 \cdot (9 - 2) = 12 + 3 \cdot 7 =$
$= 12 + 21 = 33$
4) $(12 + 3 \cdot 9) - 2 = (12 + 27) - 2 =$
$= 39 - 2 = 37$ (те саме, що і без дужок)
Відповідь: 133, 37, 33.
40. Постав у виразі $60 - 2 \cdot 9 + 3$ одну пару дужок усіма можливими способами та знайди значення кожного виразу.
Розв'язок:
1) $(60 - 2) \cdot 9 + 3 = 58 \cdot 9 + 3 =$
$= 522 + 3 = 525$
2) $60 - (2 \cdot 9) + 3 = 60 - 18 + 3 =$
$= 45$
3) $60 - 2 \cdot (9 + 3) = 60 - 2 \cdot 12 =$
$= 60 - 24 = 36$
4) $(60 - 2 \cdot 9) + 3 = (60 - 18) + 3 =$
$= 42 + 3 = 45$ (те саме, що і без дужок)
Відповідь: 525, 45, 36.
41. У числі 879 191 579 можна поміняти місцями дві цифри. Яке найбільше число можна при цьому отримати і яке найменше?
Розв'язок:
1) Щоб отримати найбільше число, треба на перше місце поставити найбільшу цифру (9), помінявши її з першою цифрою (8).
Міняємо 8 на останню 9: $979 191 578$.
2) Щоб отримати найменше число, треба на перше місце поставити найменшу цифру (1).
Міняємо 8 на першу 1: $179 891 579$.
Відповідь: найбільше — 979 191 578, найменше — 179 891 579.
42. Богдан забув пін-код до свого мобільного телефона, але пам'ятає, що він складається із цифр 0, 1, 2 і 3 та не починається із цифри 0. Скільки варіантів пін-коду можна скласти в цій ситуації?
Розв'язок:
1) Зазвичай пін-код має 4 цифри.
2) На першому місці може бути одна з 3 цифр (1, 2 або 3).
3) На другому місці — одна з 4 цифр (0, 1, 2, 3).
4) На третьому місці — одна з 4 цифр.
5) На четвертому місці — одна з 4 цифр.
6) Загальна кількість варіантів:
$3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 192$ (варіанти).
Відповідь: можна скласти 192 варіанти.
43. Скільки різних чотирицифрових чисел, більших за 6000, можна скласти із цифр 5, 6, 7 і 8, якщо в кожному із чисел цифри не повторюються?
Розв'язок:
1) Щоб число було більше за 6000, на першому місці мають стояти цифри: 6, 7 або 8 (всього 3 варіанти).
2) На другому місці може бути будь-яка з 3 цифр, що залишилися.
3) На третьому місці — будь-яка з 2 цифр, що залишилися.
4) На четвертому місці — 1 остання цифра.
5) Загальна кількість чисел:
$3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 18$ (чисел).
Відповідь: можна скласти 18 чисел.