Сторінка 177
44. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти із цифр 0, 1, 2, 3, 4 і 5, якщо цифри в кожному із чисел не повторюються?
Розв'язок:
1) На місці сотень може бути будь-яка цифра, крім 0 (1, 2, 3, 4, 5) — всього 5 варіантів.
2) На місці десятків може бути будь-яка з 5 цифр, що залишилися (включаючи 0).
3) На місці одиниць може бути будь-яка з 4 цифр, що залишилися.
4) Загальна кількість чисел:
$5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$ (чисел).
Відповідь: можна скласти 100 чисел.
45. Скільки існує чотирицифрових чисел, усі цифри яких парні та різні?
Розв'язок:
1) Парні цифри: 0, 2, 4, 6, 8 (всього 5 цифр).
2) На першому місці (тисячі) може бути одна з 4 цифр (2, 4, 6, 8), бо 0 бути не може.
3) На другому місці (сотні) — одна з 4 цифр, що залишилися (включаючи 0).
4) На третьому місці (десятки) — одна з 3 цифр.
5) На четвертому місці (одиниці) — одна з 2 цифр.
6) Загальна кількість чисел:
$4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96$ (чисел).
Відповідь: існує 96 таких чисел.
46. Розклад на день має 5 уроків. Визнач кількість можливих розкладів на день, якщо у класі вивчається 10 предметів, урок математики має стояти в розкладі другим, і предмети в розкладі не повторюються.
Розв'язок:
1) Другий урок вже зайнятий математикою (1 варіант).
2) На перший урок можна обрати будь-який із 9 предметів, що залишилися.
3) На третій урок — будь-який із 8 предметів.
4) На четвертий урок — будь-який із 7 предметів.
5) На п'ятий урок — будь-який із 6 предметів.
6) Загальна кількість розкладів:
$9 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ (розклади).
Відповідь: можливо 3024 розклади.
47. Кожне з 25 міст деякої країни сполучено автобусним маршрутом з рештою міст. Кожний маршрут обслуговує один автобус. Скільки автобусів обслуговують міжміські рейси в цій країні?
Розв'язок:
1) Одне місто сполучене з 24 іншими містами.
2) Всього міст 25, тому кількість напрямків: $25 \cdot 24 = 600$.
3) Оскільки один маршрут сполучає два міста, то кількість маршрутів у два рази менша:
$600 : 2 = 300$ (автобусів).
Відповідь: рейси обслуговують 300 автобусів.
48. Під час зустрічі директорів фірми «Бім-Бом» 6 осіб обмінялися рукостисканнями. Скільки було рукостискань?
Розв'язок:
1) Перша особа потисла руку 5 іншим.
2) Друга особа — вже 4 іншим (бо з першою вже потисла).
3) Третя — 3 іншим.
4) Четверта — 2 іншим.
5) П'ята — 1 особі.
6) Загальна кількість:
$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ (рукостискань).
Відповідь: було 15 рукостискань.
49. У турнірі із шахів беруть участь 8 гросмейстерів, причому кожен грає з кожним по дві партії. Скільки партій буде зіграно в цьому турнірі?
Розв'язок:
1) Пар суперників є $8 \cdot 7 : 2 = 28$.
2) У кожній парі грають по 2 партії:
$28 \cdot 2 = 56$ (партій).
Відповідь: буде зіграно 56 партій.
50. Скільки всього є способів вибору 2 зошитів у клітинку і 1 зошита у лінійку з 8 різних зошитів у клітинку і 5 зошитів у лінійку?
Розв'язок:
1) Виберемо 2 зошити у клітинку з 8. Перший зошит можна обрати 8 способами, другий — 7. Оскільки порядок вибору неважливий, ділимо на 2:
$(8 \cdot 7) : 2 = 56 : 2 = 28$ (способів).
2) Виберемо 1 зошит у лінійку з 5: це 5 способів.
3) Загальна кількість способів:
$28 \cdot 5 = 140$ (способів).
Відповідь: всього 140 способів.
51. Скільки всього є способів вибору 1 блокнота і 2 ручок з 3 різних блокнотів і ручок 4 кольорів?
Розв'язок:
1) Виберемо 1 блокнот з 3: це 3 способи.
2) Виберемо 2 ручки з 4 кольорів. Першу можна обрати 4 способами, другу — 3. Ділимо на 2, бо порядок неважливий:
$(4 \cdot 3) : 2 = 12 : 2 = 6$ (способів).
3) Загальна кількість способів:
$3 \cdot 6 = 18$ (способів).
Відповідь: всього 18 способів.
52. Щоб урятувати принцесу, Котигорошко має відімкнути 5 замків. У нього є 5 ключів від замків, але він не знає, який ключ до якого замка підходить. Скільки найбільше спроб може знадобитися Котигорошку, щоб відімкнути всі замки?
Розв'язок:
1) Для першого замка може знадобитися 4 спроби (якщо перші 4 ключі не підійшли, то 5-й підійде точно без перевірки).
2) Для другого замка — 3 спроби.
3) Для третього — 2 спроби.
4) Для четвертого — 1 спроба.
5) Для п'ятого — 0 спроб (залишиться один останній ключ).
6) Загальна кількість спроб:
$4 + 3 + 2 + 1 = 10$ (спроб).
Відповідь: може знадобитися 10 спроб.
Логічні задачі
53. Є дві пательні. На кожній можна підсмажити один млинець, причому млинець з кожного боку смажиться 1 хвилину. Потрібно підсмажити 3 млинці з двох боків. За який найменший час це можна зробити?
Розв'язок:
1) Позначимо млинці цифрами 1, 2 і 3, а боки — літерами А і Б.
2) 1-ша хвилина: на одній пательні смажимо 1А, на другій — 2А.
3) 2-га хвилина: млинець 1 перевертаємо (1Б), а млинець 2 прибираємо і кладемо 3А.
4) 3-тя хвилина: млинець 1 готовий. На пательні кладемо 2Б і 3Б.
Всього пройшло 3 хвилини.
Відповідь: це можна зробити за 3 хвилини.