Сторінка 178
54. У шкатулці 30 червоних, 20 зелених і 15 блакитних намистин. Яку найменшу кількість намистин, не заглядаючи у шкатулку, потрібно з неї витягти, щоб серед них обов'язково було хоча б 5 намистин одного кольору?
Розв'язок:
1) Припустимо найгірший варіант, коли ми витягаємо по 4 намистини кожного кольору і нам все ще не вистачає 5-ї намистини одного кольору:
$4 + 4 + 4 = 12$ (намистин).
2) Наступна витягнута намистина (будь-якого кольору) обов'язково зробить якийсь колір п'ятим:
$12 + 1 = 13$ (намистин).
Відповідь: потрібно витягти 13 намистин.
55. У коробці 15 червоних олівців і 12 зелених. Яку найменшу кількість олівців, не заглядаючи в коробку, потрібно взяти, щоб серед них обов'язково було хоча б 4 олівці одного кольору?
Розв'язок:
1) Розглянемо найгірший випадок, коли ми взяли по 3 олівці кожного кольору:
$3 + 3 = 6$ (олівців).
2) Наступний взятий олівець обов'язково буде четвертим у своїй групі кольору:
$6 + 1 = 7$ (олівців).
Відповідь: потрібно взяти 7 олівців.
56. З старої енциклопедії випало кілька сторінок з послідовними номерами. Номер першої із цих сторінок — 143, а номер останньої складається з тих самих цифр, але в іншому порядку. Скільки сторінок випало з енциклопедії?
Розв'язок:
1) Знайдемо номер останньої сторінки. Оскільки вона йде після 143, варіанти з цифр 1, 4, 3 можуть бути: 314, 341, 413, 431. Серед парних варіантів — лише 314.
2) Обчислимо кількість сторінок:
$314 - 143 + 1 = 172$ (сторінки).
Відповідь: випало 172 сторінки.
57. Для нумерування сторінок книжки використано 610 цифр. Скільки сторінок у книжці, якщо нумерувати почали з третьої сторінки?
Розв'язок:
1) Кількість одноцифрових сторінок (з 3 по 9):
$9 - 3 + 1 = 7$ (сторінок), на них пішло $7 \cdot 1 = 7$ цифр.
2) Кількість двоцифрових сторінок (з 10 по 99):
$99 - 10 + 1 = 90$ (сторінок), на них пішло $90 \cdot 2 = 180$ цифр.
3) Залишилося цифр для трицифрових сторінок:
$610 - 7 - 180 = 423$ (цифри).
4) Кількість трицифрових сторінок:
$423 : 3 = 141$ (сторінка).
5) Загальна кількість сторінок:
$7 + 90 + 141 = 238$ (сторінок). Оскільки почали з 3-ї, остання сторінка має номер $238 + 2 = 240$.
Відповідь: у книжці 240 сторінок.
58. Онучки Юля та Яна і онук Мишко приїхали на гостину до бабусі. Бабуся виклала сливи на тарілку. Першою підійшла Юля та пригостилася третиною всіх слив. Далі третиною того, що залишилося, пригостився Мишко. За ним третиною того, що залишилося, пригостилася Яна, після чого на тарілці залишилося 8 слив. Скільки слив було на тарілці спочатку?
Розв'язок:
1) Якщо Яна з'їла третину і залишилося 8 слив, то ці 8 слив — це дві третини від того, що побачила Яна:
$8 : 2 \cdot 3 = 12$ (слив було перед Яною).
2) Ці 12 слив — це дві третини від того, що залишилося після Юлі:
$12 : 2 \cdot 3 = 18$ (слив було перед Мишком).
3) Ці 18 слив — це дві третини від початкової кількості:
$18 : 2 \cdot 3 = 27$ (слив).
Відповідь: спочатку було 27 слив.
59. Маємо 4 сейфи та 4 ключі від них, проте невідомо, який ключ підходить до якого сейфа. Скільки найбільше спроб може знадобитися, щоб дізнатися, від якого сейфа кожен ключ (сейфи відчиняти не потрібно)?
Розв'язок:
1) Для першого ключа може знадобитися 3 спроби. Якщо він не підійшов до перших трьох сейфів, то він точно від четвертого.
2) Для другого ключа — 2 спроби (серед трьох сейфів, що залишилися).
3) Для третього ключа — 1 спроба (серед двох сейфів).
4) Для четвертого ключа — 0 спроб (залишиться один сейф і один ключ).
5) Загальна кількість спроб:
$3 + 2 + 1 = 6$ (спроб).
Відповідь: може знадобитися 6 спроб.
60. Газету розірвали на 4 частини. Потім одну з отриманих частин розірвали ще на 4 частини. Потім зробили так само ще 8 разів. Скільки шматків газети отримали?
Розв'язок:
1) Коли ми розриваємо один шматок на 4 частини, кількість шматків збільшується на 3 ($4 - 1 = 3$).
2) Всього було зроблено 10 розривань (перше + ще 9).
3) Загальна кількість шматків:
$1 + 10 \cdot 3 = 1 + 30 = 31$ (шматок).
Відповідь: отримали 31 шматок газети.
61. Летіли качки: одна попереду і дві позаду, одна позаду й дві попереду, одна між двома і три в ряд. Яка найменша кількість качок може так летіти?
Розв'язок:
1) Перевіримо варіант, коли качки летять одна за одною (в ряд): 1-ша, 2-га, 3-тя.
2) «Одна попереду і дві позаду»: 1-ша попереду, 2-га та 3-тя позаду неї.
3) «Одна позаду й дві попереду»: 3-тя позаду, 1-ша та 2-га попереду неї.
4) «Одна між двома»: 2-га летить між 1-ю та 3-ю.
5) «Три в ряд»: всі три летять одна за одною.
Відповідь: може летіти 3 качки.
62. Ігор та Ірина мають два відра, одне з яких уміщує 5 л, а друге — 7 л. Як, маючи лише ці відра, набрати з крана 6 л води?
Розв'язок:
1) Наповнюємо відро 7 л.
2) Переливаємо з нього 5 л у менше відро. У великому залишається: $7 - 5 = 2$ (л).
3) Виливаємо воду з відра 5 л і переливаємо туди 2 л з великого відра.
4) Знову наповнюємо відро 7 л.
5) Доливаємо з великого відра в мале (де вже є 2 л) ще 3 л до повного. У великому залишиться: $7 - 3 = 4$ (л).
6) Виливаємо воду з відра 5 л і переливаємо туди 4 л з великого відра.
7) Знову наповнюємо відро 7 л.
8) Доливаємо з великого відра в мале (де є 4 л) ще 1 л до повного. У великому залишиться: $7 - 1 = 6$ (л).
Відповідь: мета досягнута, у 7-літровому відрі 6 л води.