Степінь числа: що означає запис 2³ і як обчислити квадрат і куб

Квадрат зі стороною 4 клітинки.

1. 1)У квадраті 4 ряди, у кожному по 4 клітинки.
2. 2)Усього 4 · 4 = 16 клітинок. Коротко: 4² = 16.

Тому 4² читають «чотири в квадраті».

Куб із кубиків, розібраний на 3 шари: верхній, середній і нижній.

1. 1)Уяви куб, складений з маленьких кубиків: 3 в довжину, 3 в ширину і 3 у висоту.
2. 2)Кожен шар — квадрат 3 на 3. У ньому 3 · 3 = 9 кубиків.
3. 3)Шарів три. Усього 9 · 3 = 27 кубиків, тобто 3 · 3 · 3 = 27. Коротко: 3³ = 27.

Тому 3³ читають «три в кубі».

Приклад 1. Запиши добуток у вигляді степеня

1. 1)Дивимося, яке число чи буква повторюється. Його пишемо звичайним розміром.
2. 2)Лічимо множники. Їхню кількість пишемо маленьким числом угорі праворуч.
3. 3)Між буквами знак «·» можна не писати: $pppp$ і $p\cdot p\cdot p\cdot p$ — те саме.
4. 4)Три крапки «…» означають, що однакові множники пропущено, щоб не писати їх усі. Скільки їх, підказує підпис: 11 множників.

Відповідь: 1) 6⁵; 2) 12²; 3) $k^3$; 4) $p^4$; 5) 5¹¹.

Приклад 2. Запиши степінь у вигляді добутку

1. 1)Пишемо число звичайного розміру множником стільки разів, скільки показує маленьке число вгорі.
2. 2)Перевіряємо: у 9⁴ має бути 4 дев’ятки, у $c^6$ — 6 букв $c$.

Відповідь: 1) 9 · 9 · 9 · 9; 2) 2025 · 2025; 3) $x\cdot x\cdot x$; 4) $c\cdot c\cdot c\cdot c\cdot c\cdot c$.

Приклад 3. Обчисли степінь

1. 1)Записуємо добуток однакових множників.
2. 2)Множимо перші два множники. Результат множимо на наступний, і так до кінця.
3. 3)У 2⁵ вийшло чотири множення: 2 · 2 = 4, 4 · 2 = 8, 8 · 2 = 16, 16 · 2 = 32.

Відповідь: 1) 36; 2) 32; 3) 729.

Приклад 4. Степені чисел 0, 1 і круглих чисел

1. 1)Нуль у будь-якому натуральному степені дорівнює нулю: множимо на 0.
2. 2)Одиниця в будь-якому степені дорівнює одиниці: 1 · 1 = 1.
3. 3)Будь-яке число в першому степені дорівнює самому числу.
4. 4)Числа з нулями в кінці множимо, як у § 6: спершу без нулів, потім дописуємо всі нулі. У 30 · 30 множимо 3 · 3 = 9 і дописуємо два нулі — 900.
5. 5)У 200 · 200 · 200 множимо 2 · 2 · 2 = 8, а нулів дописуємо 2 + 2 + 2 = 6.

Відповідь: 1) 0; 2) 1; 3) 23; 4) 900; 5) 8 000 000; 6) 10 000.

Приклад 5. Квадрат і куб двоцифрового числа стовпчиком

1) 34². Це 34 · 34. Множимо стовпчиком.

Дрібна цифра 1 над трійкою — перенесення під час множення на 4.

1. 1)Множимо 34 на 4. 4 · 4 = 16: пишемо 6, а 1 переносимо. 3 · 4 = 12, додаємо 1, буде 13. Перший рядок — 136.
2. 2)Множимо 34 на 3. 4 · 3 = 12: пишемо 2, а 1 запам’ятовуємо. 3 · 3 = 9, додаємо 1, буде 10. Другий рядок — 102, пишемо на одну клітинку лівіше.
3. 3)Додаємо рядки: 34² = 1156.

2) 14³. Це 14 · 14 · 14. Спершу множимо 14 на 14, потім результат ще раз на 14.

Перше множення: 14 · 14 = 196.

Друге множення: 196 · 14 = 2744.

1. 1)14 · 14. Множимо 14 на 4: 4 · 4 = 16, пишемо 6, 1 переносимо; 1 · 4 = 4, додаємо 1, буде 5. Перший рядок — 56.
2. 2)Множимо 14 на 1: другий рядок 14 зі зсувом. Разом 196 — це квадрат числа 14.
3. 3)196 · 14. Множимо 196 на 4: 6 · 4 = 24, пишемо 4, 2 переносимо. 9 · 4 = 36, додаємо 2, буде 38: пишемо 8, 3 переносимо. 1 · 4 = 4, додаємо 3, буде 7. Перший рядок — 784.
4. 4)Множимо 196 на 1: другий рядок 196 зі зсувом. Разом 2744.

Коротко: 14³ = 14 · 14 · 14 = 196 · 14 = 2744. Це куб числа 14.

Відповідь: 1) 1156; 2) 2744.

Приклад 6. Знайди значення виразу

1. 1)Спершу дужки. Усередині дужок спочатку степінь, потім інші дії.
2. 2)Потім степені поза дужками. Далі множення й ділення, а наприкінці додавання й віднімання.
3. 3)У пункті 3) степінь стоїть і в дужках, і за ними. Спершу 3² = 9 у дужках, потім 12 − 9 = 3, і лише тоді 3³ = 27.

Чому так? У записі 4 · 5² маленька двійка стоїть лише біля 5. Вона каже: «помнож 5 на 5», а четвірки не стосується.

Відповідь: 1) 100; 2) 166; 3) 27; 4) 17; 5) 16.

Приклад 7. Значення виразу з буквою

1. 1)Замість букви пишемо число. Після підстановки $a=5$ вираз $3a^2$ стає 3 · 5²: між 3 і 5² тепер пишемо знак «·».
2. 2)Спершу підносимо до степеня, потім множимо, потім додаємо чи віднімаємо.

Зверни увагу: у $3a^2$ до квадрата підносимо лише $a$. Трійку потім множимо на результат.

Відповідь: 1) 79 і 304; 2) 44.

Приклад 8. Знайди $n$

1. 1)Шукаємо число в таблиці. Якщо таблиці під рукою немає, звужуємо пошук.
2. 2)Спершу межі: круглі числа 10 і 20 у квадраті дають 100 і 400.
3. 3)Потім остання цифра. Квадрат закінчується на 4, якщо число закінчується на 2 (2 · 2 = 4) або на 8 (8 · 8 = 64).
4. 4)Так само квадрат закінчується на 9, якщо число закінчується на 3 або 7 (3 · 3 = 9, 7 · 7 = 49). А на 5 — якщо число закінчується на 5.
5. 5)Перевіряємо множенням кожне число, яке підходить.

Відповідь: 1) 12; 2) 18; 3) 8.

Приклад 9. Квадрат суми і сума квадратів

На скільки квадрат суми чисел 2 і 6 більший за суму їхніх квадратів?

1. 1)Квадрат суми — спершу додаємо, потім підносимо до квадрата. Тому суму беремо в дужки.
2. 2)Сума квадратів — спершу підносимо кожне число до квадрата, потім додаємо.
3. 3)Щоб дізнатися, на скільки одне число більше за інше, віднімаємо.

З кубами так само. Куб суми 2 і 3: (2 + 3)³ = 5³ = 125.

Сума кубів: 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35. Різниця 125 − 35 = 90.

Відповідь: на 24.

Приклад 10. Чи правильна рівність? Підбери число

1. 1)Обчислюємо окремо ліву і праву частини рівності. Порівнюємо результати.
2. 2)Щоб підібрати число, спершу рахуємо відому частину. Потім шукаємо, квадратом чи кубом якого числа вона є (як у прикладі 8).

Відповідь: 1) правильна; 2) неправильна; 3) $x=20$; 4) $y=6$.

Приклад 11. Якою цифрою закінчується число

1. 1)Остання цифра добутку залежить лише від останніх цифр множників. Так було й у стовпчику в § 6.
2. 2)Тому весь степінь не рахуємо. Останню цифру записуємо множником стільки разів, скільки показує маленьке число вгорі. Для квадрата це одне множення, для куба — два.
3. 3)Після кожного множення лишаємо тільки останню цифру: у 7 · 7 = 49 беремо 9, далі 9 · 7.
4. 4)Для суми додаємо останні цифри доданків і знову беремо останню цифру.
5. 5)Для різниці віднімаємо останні цифри. Від 6 не можна відняти 9, тому позичаємо десяток, як у стовпчику: 16 − 9 = 7.

Відповідь: 1) 9; 2) 3; 3) 8; 4) 7.