Повідомити про помилку
* - Обов'язкові поля
Відправити

Задачі на вартість і роботу: формули C = a · n і A = N · t

Ти навчишся розв’язувати задачі про покупки й роботу. Ти зможеш порахувати решту, ціну в гривнях і копійках та час спільної роботи.

У задачах часто плутають, коли треба множити, а коли ділити, а в задачах про спільну роботу додають не ті числа. Якщо шукаєш свою помилку, почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Ціна, кількість і вартість товару

Ціна товару показує, скільки коштує одна одиниця: кілограм, літр, метр або штука. Якщо яблука коштують 24 грн/кг, то 1 кг яблук коштує 24 грн.

Вартість показує, скільки коштує вся покупка. Наприклад, 5 кг яблук по 24 грн/кг коштують 24 · 5 = 120 грн, бо кожен кілограм коштує 24 грн. У підручнику вартість позначають $C$, ціну — $a$, а кількість товару — $n$.

Формула вартості:
$C = a \cdot n$

Вартість дорівнює ціні, помноженій на кількість, бо за кожну одиницю товару платять однакову ціну.

Ціну знаходимо діленням вартості на кількість за формулою $a = C : n$. Кількість знаходимо діленням вартості на ціну за формулою $n = C : a$, бо невідомий множник дорівнює добутку, поділеному на відомий множник.

Обсяг роботи, продуктивність праці й час

Швидкість роботи називають продуктивністю праці. Вона показує, скільки роботи виконують за одиницю часу — годину, хвилину чи день. Якщо принтер друкує 9 сторінок за хвилину, його продуктивність дорівнює 9 сторінкам за хвилину.

Обсяг роботи — це все, що виконали: надруковані сторінки, виготовлені деталі чи вимиті тарілки. За 7 хвилин принтер надрукує 9 · 7 = 63 сторінки, бо щохвилини він друкує по 9 сторінок. Обсяг роботи позначають $A$, продуктивність — $N$, а час — $t$.

Формула роботи:
$A = N \cdot t$

Обсяг роботи дорівнює продуктивності, помноженій на час, бо за кожну одиницю часу виконують однакову частину роботи.

Продуктивність знаходимо діленням обсягу роботи на час за формулою $N = A : t$. Час знаходимо діленням обсягу роботи на продуктивність за формулою $t = A : N$, бо невідомий множник дорівнює добутку, поділеному на відомий множник.

Трикутники-підказки для двох формул

Два трикутники. Лівий: угорі C, унизу a і n, тобто C дорівнює a помножити на n. Правий: угорі A, унизу N і t, тобто A дорівнює N помножити на t

У лівому трикутнику зверху записано вартість $C$, а знизу записано ціну $a$ і кількість $n$. У правому трикутнику зверху записано обсяг роботи $A$, а знизу записано продуктивність $N$ і час $t$.

Закрий пальцем величину, яку треба знайти. Якщо ти закрив верхню величину, перемнож дві нижні величини. Якщо ти закрив одну з нижніх величин, поділи верхню величину на ту нижню, що лишилася відкритою. Так можна робити, бо верхня величина дорівнює добутку двох нижніх.

ШукаємоФормула
вартість$C = a \cdot n$
ціну$a = C : n$
кількість товару$n = C : a$
обсяг роботи$A = N \cdot t$
продуктивність праці$N = A : t$
час роботи$t = A : N$

Якщо задача про гроші, ціну чи покупку, застосовуй формулу вартості. Хвилини й години бувають і в задачах про гроші, наприклад у задачі про ціну хвилини розмови, тому перевір, чи йдеться про гроші. Якщо задача про виконану за певний час роботу, застосовуй формулу роботи.

Як розв’язати задачу про вартість або роботу?

  1. Прочитай умову й визнач, про що задача: про гроші чи про роботу, бо для них потрібні різні формули.
  2. Випиши три величини потрібної формули: вартість, ціну й кількість або обсяг роботи, продуктивність і час. Познач, які величини відомі, а яку треба знайти.
  3. Якщо в задачі є і гривні, і копійки, переведи всі суми в копійки, бо додавати, віднімати й ділити суми можна лише в однакових одиницях. Пам’ятай, що 1 грн = 100 к.
  4. Закрий невідому величину в трикутнику, запиши потрібну формулу й обчисли.
  5. Запиши відповідь із назвою одиниці вимірювання та перевір її оберненою дією.

Задачі про вартість товару

Приклад 1. Знайди вартість, ціну або кількість товару

1)2)3)
Вартість, $C$?168 грн210 грн
Ціна, $a$26 грн/шт.?15 грн/шт.
Кількість, $n$5 шт.4 кг?

Розв’язання.

1)$C = a \cdot n$ = 26 · 5 = 130 (грн);
2)$a = C : n$ = 168 : 4 = 42 (грн/кг);
3)$n = C : a$ = 210 : 15 = 14 (шт.).

Відповідь: 1) 130 грн; 2) 42 грн/кг; 3) 14 шт.

У кожному стовпчику відомі дві величини, а знак «?» позначає ту, яку треба знайти. Вартість знаходять множенням ціни на кількість. Ціну й кількість знаходять діленням вартості на відому величину: ціну — на кількість, кількість — на ціну. Ціну за штуку записують у грн/шт., а за кілограм — у грн/кг.

За кожним стовпчиком такої таблиці можна скласти задачу, а про величину зі знаком «?» поставити запитання. Наприклад: «Олівець коштує 26 грн. Скільки коштують 5 таких олівців?»

Приклад 2. Знайди решту після покупки двох товарів

Оля купила 3 зошити по 18 грн і 2 ручки по 12 грн. Вона дала касирові 100 грн. Яку решту вона отримає?

Розв’язання.

  1. 1)18 · 3 = 54 (грн) — вартість зошитів;
  2. 2)12 · 2 = 24 (грн) — вартість ручок;
  3. 3)54 + 24 = 78 (грн) — вартість усієї покупки;
  4. 4)100 − 78 = 22 (грн) — решта.

Відповідь: 22 грн.

Решта — це різниця між грошима, які покупець дав, і вартістю покупки. Тому спершу знайди вартість кожного товару, потім усієї покупки, а тоді відніми її від суми, яку дали касирові.

Приклад 3. Знайди тривалість телефонної розмови

На рахунку мобільного телефону було 50 грн. Після розмови залишилося 46 грн 40 к., а хвилина розмови коштує 30 к. Скільки хвилин тривала розмова?

Щоб відняти суми й поділити на ціну хвилини, усі числа мають бути в однакових одиницях — у копійках. Пам’ятай, що 1 грн = 100 к.

Розв’язання.

  1. 1)50 грн = 5000 к., 46 грн 40 к. = 4640 к. — суми на рахунку в копійках;
  2. 2)5000 − 4640 = 360 (к.) — вартість розмови;
  3. 3)360 : 30 = 12 (хв) — тривала розмова.

Відповідь: 12 хв.

Вартість розмови дорівнює ціні хвилини, помноженій на кількість хвилин, тому кількість хвилин знайдемо діленням вартості на ціну. Перевірка:
30 · 12 = 360.

Приклад 4. Знайди ціну булочки, якщо сік дорожчий на відому суму

Чотири склянки соку дорожчі за чотири булочки на 22 грн. Склянка соку коштує 18 грн 50 к. Скільки коштує одна булочка?

Розв’язання.

  1. 1)18 грн 50 к. = 1850 к. — ціна склянки соку в копійках;
  2. 2)1850 · 4 = 7400 (к.) — вартість чотирьох склянок соку;
  3. 3)22 грн = 2200 к.; 7400 − 2200 = 5200 (к.) — вартість чотирьох булочок;
  4. 4)5200 : 4 = 1300 (к.) — ціна булочки; 1300 к. = 13 грн.

Відповідь: 13 грн.

«Дорожчі на 22 грн» означає, що чотири булочки коштують на 22 грн менше, ніж чотири склянки соку. Ціну булочки знайдемо діленням вартості чотирьох булочок на їхню кількість.

Приклад 5. Знайди найбільшу непарну кількість троянд для букета

На день народження Сергій хоче подарувати букет із непарної кількості троянд. Одна троянда коштує 45 грн, а в Сергія є 560 грн. Яку найбільшу кількість троянд він може подарувати?

Розв’язання.

  1. 1)560 : 45 = 12 (ост. 20) — на 560 грн можна купити найбільше 12 троянд;
  2. 2)число 12 парне, тому в букеті буде 11 троянд.

Відповідь: 11 троянд.

Перевіримо, чи не вистачить на більше. На одну троянду більше, ніж 12, тобто 13 троянд, коштували б 45 · 13 = 585 грн, а це більше за 560 грн. Тому грошей вистачить щонайбільше на 12 троянд. Число 12 парне, тому для букета вибери найближчу меншу непарну кількість — 11 троянд. Перевірка:
45 · 11 = 495 грн, а 495 грн менше за 560 грн. Якщо найбільша кількість, на яку вистачає грошей, уже непарна, даруй саме стільки.

Приклад 6. Знайди вартість дешевшого варіанта поїздки

Родина з трьох осіб їде до міста за 400 км. Можна поїхати автобусом або власним автомобілем. Квиток на автобус для однієї особи коштує 450 грн. Автомобіль витрачає 7 л пального на 100 км, а літр пального коштує 60 грн. Скільки коштуватиме дешевша поїздка в один бік?

Розв’язання.

  1. 1)450 · 3 = 1350 (грн) — коштують квитки на автобус для трьох осіб;
  2. 2)400 : 100 = 4 (рази) — стільки разів по 100 км у шляху;
  3. 3)7 · 4 = 28 (л) — пального потрібно на весь шлях;
  4. 4)60 · 28 = 1680 (грн) — коштує пальне;
  5. 5)1350 грн менше за 1680 грн, тому дешевше поїхати автобусом.

Відповідь: 1350 грн (автобусом).

Щоб вибрати дешевший варіант, знайди вартість кожного й порівняй результати. Автомобіль витрачає 7 л на кожні 100 км, тому спершу визнач, скільки таких відрізків у шляху. Усі троє їдуть в одному автомобілі, тому пальне купують один раз на всю родину. Для поїздки автобусом квиток потрібен кожному.

Приклад 7. Склади формулу й знайди, скільки грошей було до покупки

Мама купила 3 кг яблук по $a$ грн за кілограм і після покупки в неї залишилося 45 грн. Запиши формулу для суми $T$, яка була в мами до покупки. Обчисли $T$, якщо $a = 32$.

Розв’язання.

Три кілограми яблук коштують $3a$ гривень, бо вартість дорівнює ціні, помноженій на кількість. До покупки в мами були гроші на яблука й ще 45 грн, які залишилися.

$T = 3a + 45$;
якщо $a = 32$, то $T$ = 3 · 32 + 45 = 96 + 45 = 141 (грн).

Відповідь: $T = 3a + 45$; 141 грн.

Задачі на роботу

Приклад 8. Знайди обсяг роботи, продуктивність праці або час

1)2)3)
Обсяг роботи, $A$?84 деталі120 пляшок
Продуктивність, $N$12 стор. за хв?8 пляшок за хв
Час, $t$6 хв6 год?

Розв’язання.

1)$A = N \cdot t$ = 12 · 6 = 72 (стор.);
2)$N = A : t$ = 84 : 6 = 14 (дет. за год);
3)$t = A : N$ = 120 : 8 = 15 (хв).

Відповідь: 1) 72 сторінки; 2) 14 деталей за годину; 3) 15 хв.

Обсяг роботи знаходимо множенням продуктивності на час. Продуктивність і час знаходимо діленням обсягу роботи на відому величину. Якщо продуктивність задана за годину, час отримаєш у годинах; якщо продуктивність задана за хвилину, час отримаєш у хвилинах.

Приклад 9. Порівняй продуктивність праці двох людей

Марко зліпив 36 вареників за 9 хв, а Софія — 40 вареників за 8 хв. У кого продуктивність праці більша і на скільки?

Розв’язання.

  1. 1)36 : 9 = 4 (вареники за хв) — продуктивність Марка;
  2. 2)40 : 8 = 5 (вареників за хв) — продуктивність Софії;
  3. 3)5 − 4 = 1 (вареник за хв) — на стільки більша продуктивність Софії.

Відповідь: у Софії, на 1 вареник за хвилину.

Марко й Софія працювали різний час, тому не можна порівнювати лише кількість зліплених вареників. Порівняй, скільки вареників кожен ліпив за хвилину: це їхня продуктивність.

Приклад 10. Знайди, за скільки годин майстер і два учні виконають роботу разом

Майстер виготовляє 24 деталі за 3 год. Кожен із двох його учнів за ті самі 3 год виготовляє по 15 деталей. За скільки годин вони втрьох виготовлять 90 деталей, якщо працюватимуть разом?

Розв’язання.

  1. 1)24 : 3 = 8 (дет. за год) — продуктивність майстра;
  2. 2)15 : 3 = 5 (дет. за год) — продуктивність одного учня;
  3. 3)5 · 2 = 10 (дет. за год) — продуктивність двох учнів;
  4. 4)8 + 10 = 18 (дет. за год) — продуктивність майстра й учнів разом;
  5. 5)90 : 18 = 5 (год) — за стільки годин вони виготовлять 90 деталей.

Відповідь: за 5 год.

Знайди продуктивність за годину, бо в умові дано кількість деталей за 3 год. Кожен учень робить 5 деталей за годину, тому продуктивність двох учнів дорівнює 5 · 2 = 10 деталей за годину. Майстер і двоє учнів працюють разом, тому додай їхні продуктивності за годину. Перевірка:
За 5 год майстер виготовить 8 · 5 = 40 деталей, а учні — 10 · 5 = 50; разом вони виготовлять 40 + 50 = 90 деталей.

Приклад 11. Знайди, скільки часу піде на прибирання кількох кімнат

Сашко й Іра разом прибирають одну класну кімнату за 12 хв. Скільки часу їм потрібно, щоб прибрати разом 5 таких кімнат?

Розв’язання.

12 · 5 = 60 (хв) — потрібно, щоб прибрати 5 кімнат.

Відповідь: 60 хв, тобто 1 год.

В умові сказано, скільки часу Сашко й Іра витрачають на одну кімнату. Вони прибирають кожну кімнату за 12 хв, тому час на одну кімнату помнож на кількість кімнат.

Коли потрібні обидві формули

Приклад 12. Знайди, скільки грошей майстриня отримає за роботу

Майстриня плете 4 браслети за годину й продає кожен за 35 грн. Скільки грошей вона отримає за браслети, сплетені за 6 год?

Спершу знайдемо обсяг роботи — кількість браслетів, які майстриня сплете. Потім розв’яжемо задачу про вартість, де ця кількість браслетів стане кількістю товару.

Розв’язання.

  1. 1)$A = N \cdot t$ = 4 · 6 = 24 (браслети) — сплете майстриня;
  2. 2)$C = a \cdot n$ = 35 · 24 = 840 (грн) — отримає майстриня.

Відповідь: 840 грн.

Як перевірити себе

  • Знайшовши ціну або кількість, перемнож ціну на кількість: має вийти вартість, бо $C = a \cdot n$. Так само помнож продуктивність на час, щоб отримати обсяг роботи, бо $A = N \cdot t$.
  • Вартість кількох речей більша за ціну однієї, бо складається з кількох таких цін. Робота за кілька годин більша за продуктивність, бо щогодини виконують стільки, скільки показує продуктивність. Якщо вийшло навпаки, ти переплутав множення з діленням.
  • Продуктивність працівників разом більша за продуктивність кожного з них, бо за ту саму годину вони виконують більше роботи. Перевір відповідь: помнож продуктивність кожного працівника на знайдений час і додай результати, щоб отримати весь обсяг роботи з умови.
  • У відповіді копійок має бути менше ніж 100, бо 100 к. = 1 грн. Якщо отримав 5 грн 120 к., переведи 100 к. у гривню: вийде 6 грн 20 к.

Де найчастіше помиляються

Порівняли загальний обсяг роботи без урахування часу

Завдання: Максим почистив 48 картоплин за 12 хв, а Оксана — 35 картоплин за 5 хв. У кого з них більша продуктивність праці і на скільки?

Неправильно

48 − 35 = 13 (карт.)
Відповідь: у Максима, на 13 картоплин.

Правильно

1) 48 : 12 = 4 (карт. за хв);
2) 35 : 5 = 7 (карт. за хв);
3) 7 − 4 = 3 (карт. за хв).
Відповідь: в Оксани, на 3 картоплини за хвилину.

Максим почистив більше картоплин за 12 хв роботи, ніж Оксана за 5 хв. Продуктивність показує, скільки картоплин чистять за хвилину, тому кількість картоплин кожного треба поділити на його час.

Роботу за кілька годин вважали продуктивністю за годину

Завдання: майстер за 2 год виготовляє 24 деталі, а учень за ті самі 2 год — 16 деталей. За скільки годин вони разом виготовлять 120 деталей?

Неправильно

1) 24 + 16 = 40 (дет. за год);
2) 120 : 40 = 3 (год).

Правильно

1) 24 : 2 = 12 (дет. за год);
2) 16 : 2 = 8 (дет. за год);
3) 12 + 8 = 20 (дет. за год);
4) 120 : 20 = 6 (год).

За 2 год майстер і учень разом виготовляють 40 деталей, отже, за 1 год вони виготовляють 20 деталей. У помилковому розв’язанні 40 деталей вважають продуктивністю за годину, тому отримують 3 год замість 6 год.

Час на одне завдання поділили, а треба було помножити

Завдання: двоє друзів разом фарбують одну лавку за 10 хв. За скільки хвилин вони пофарбують 5 таких лавок?

Неправильно

10 : 5 = 2 (хв)

Правильно

10 · 5 = 50 (хв)

На одну лавку друзі витрачають 10 хв, тому на п’ять лавок не може знадобитися лише 2 хв. На кожну лавку йде по 10 хв, отже, час множимо на кількість лавок.

Копійки відняли, не розмінявши гривню

Завдання: покупка коштує 13 грн 60 к. Покупець дав касирові 20 грн. Скільки решти він отримає?

Неправильно

20 грн − 13 грн 60 к. = 7 грн 60 к.

Правильно

20 грн = 2000 к., 13 грн 60 к. = 1360 к.;
2000 − 1360 = 640 (к.), 640 к. = 6 грн 40 к.

У 20 грн немає копійок, тому 60 к. відняти нема від чого, доки одну гривню не розміняють на 100 к. Найпростіше перевести обидві суми в копійки й відняти, як у записі «Правильно». Перевірка:
1360 + 640 = 2000 (к.).

Спробуй сам

  1. Знайди невідому величину.
    1) Знайди вартість товару, якщо його ціна становить 18 грн, а кількість дорівнює 6 шт.
    2) Знайди ціну товару, якщо його вартість дорівнює 360 грн, а кількість становить 8 шт.
    3) Знайди кількість товару, якщо його вартість становить 240 грн, а ціна дорівнює 16 грн.
  2. Петро купив 3 ручки по 18 грн і 2 блокноти по 35 грн. Яку решту він отримає зі 200 грн?
  3. На рахунку телефону було 30 грн, а після розмови залишилося 27 грн 60 к. Хвилина розмови коштує 15 к. Скільки хвилин тривала розмова?
  4. Три зошити коштують на 27 грн більше, ніж три олівці. Зошит коштує 15 грн 50 к. Скільки коштує один олівець?
  5. Букет має містити непарну кількість гвоздик. Одна гвоздика коштує 27 грн, а в Ані є 250 грн. Яку найбільшу кількість гвоздик вона може подарувати?
  6. Четверо друзів їдуть до міста за 300 км. Можна поїхати поїздом або власним автомобілем. Квиток на поїзд для однієї особи коштує 280 грн. Автомобіль витрачає 6 л пального на 100 км, а літр пального коштує 55 грн. Скільки коштуватиме дешевша поїздка в один бік?
  7. Ігор купив 4 кг груш по $a$ грн за кілограм, і в нього залишилося 30 грн. Запиши формулу для суми $T$, яка була в Ігоря до покупки. Обчисли $T$, якщо $a = 45$.
  8. Знайди невідому величину.
    1) Знайди обсяг роботи, якщо продуктивність становить 14 деталей за годину, а час дорівнює 5 год.
    2) Знайди продуктивність, якщо обсяг роботи дорівнює 96 сторінкам, а час становить 8 год.
    3) Знайди час, якщо обсяг роботи становить 150 пляшок, а продуктивність дорівнює 25 пляшкам за хвилину.
  9. Петро виготовив 42 деталі за 6 год, а Іван — 40 деталей за 5 год. У кого продуктивність праці більша і на скільки?
  10. Майстер виготовляє 36 деталей за 4 год, а учень за ті самі 4 год — 20 деталей. За скільки годин вони разом виготовлять 84 деталі?
  11. Двоє друзів разом складають один пазл за 25 хв. Скільки часу їм потрібно, щоб скласти 4 такі пазли?
  12. Пекар випікає 30 булочок за годину й продає кожну за 9 грн. Скільки грошей він отримає за булочки, спечені за 4 год?
Перевірити відповіді
  1. 1) 108 грн; 2) 45 грн; 3) 15 шт.
  2. 76 грн.
  3. 16 хв.
  4. 6 грн 50 к.
  5. 9 гвоздик.
  6. 990 грн (автомобілем).
  7. $T = 4a + 30$; 210 грн.
  8. 1) 70 деталей; 2) 12 сторінок за годину; 3) 6 хв.
  9. В Івана, на 1 деталь за годину.
  10. За 6 год.
  11. 100 хв.
  12. 1080 грн.

Повне розв’язання завдання 4

  1. 1)15 грн 50 к. = 1550 к. — ціна зошита в копійках;
  2. 2)1550 · 3 = 4650 (к.) — вартість трьох зошитів;
  3. 3)27 грн = 2700 к.; 4650 − 2700 = 1950 (к.) — вартість трьох олівців;
  4. 4)1950 : 3 = 650 (к.) — ціна олівця; 650 к. = 6 грн 50 к.

Перевірка:
650 · 3 = 1950 (к.) — коштують 3 олівці; 1950 + 2700 = 4650 (к.) — вартість трьох зошитів.

Повне розв’язання завдання 6

  1. 1)280 · 4 = 1120 (грн) — коштують квитки на поїзд;
  2. 2)300 : 100 = 3 (рази) — стільки разів по 100 км у шляху;
  3. 3)6 · 3 = 18 (л) — пального потрібно на весь шлях;
  4. 4)55 · 18 = 990 (грн) — коштує пальне;
  5. 5)990 грн менше за 1120 грн, тому дешевше поїхати автомобілем.

Повне розв’язання завдання 10

  1. 1)36 : 4 = 9 (дет. за год) — продуктивність майстра;
  2. 2)20 : 4 = 5 (дет. за год) — продуктивність учня;
  3. 3)9 + 5 = 14 (дет. за год) — продуктивність майстра й учня разом;
  4. 4)84 : 14 = 6 (год) — за стільки годин вони виготовлять 84 деталі.

Перевірка:
9 · 6 = 54 (дет.) — виготовить майстер; 5 · 6 = 30 (дет.) — учень; 54 + 30 = 84 (дет.).

Якщо твоя відповідь не збіглася з відповіддю в «Перевірити відповіді», подивись розділ «Де найчастіше помиляються».

Для батьків

Пов’яжіть задачі про вартість із покупками: попросіть дитину знайти вартість кількох однакових товарів за ціною на ціннику або порахувати решту. На знайомих прикладах дитині легше зрозуміти, коли множити, а коли ділити.

Перед розв’язуванням запитайте дитину, про що задача — про гроші чи роботу — і яку величину треба знайти. Попросіть показати її у трикутнику: так дитина зможе сама вибрати, множити чи ділити.

Повідомити про помилку